Докажите тождество

$$\dfrac{\left(q^n-1\right)\left(q^{n-1}-1\right)\dots\left(q^{n-r+1}-1\right)}{\left(q^r-1\right)\left(q^{r-1}-1\right)\dots(q-1)}=\sum_{\lambda\subseteq\Pi}q^{^{|\Pi\backslash\lambda|}},$$

где суммирование происходит по всем различным диаграммам Юнга $%\lambda$%, умещающимся в прямоугольник $%\Pi$% размера $%r\times(n-r)$%, а показатель $%|\Pi\backslash\lambda|$% равен количеству клеток в дополнении диаграммы до прямоугольника (пустая диаграмма $%\lambda=\emptyset$% и весь прямоугольник $%\lambda=\Pi$% при этом тоже учитываются).

задан 15 Дек '21 0:46

Левая часть напоминает формулы для числа подпространств заданной размерности в n-меном пространстве над полем из q элементов. Правда, я не уверен, что именно этим способом надо рассуждать.

(15 Дек '21 1:13) falcao

@falcao, а вы быстро прочухали. Я специально не стал добавлять в теги "геометрию", чтобы не давать подсказку.

(15 Дек '21 1:36) haosfortum

@falcao Вы правы, левая часть - это число $%r$%-мерных подпространств $%F_{q}^{n}$%. Левая часть имеет степень $%r(n-r)$%, так что тут это работает. Возможно, стоит попробовать рассмотреть несколько небольших примеров, чтобы увидеть, существует ли естественное разбиение подпространств относительно этих диаграмм Юнга.

(15 Дек '21 4:18) Rene
2

Продолжая: пусть $%V$% - это $%r$%-мерное подпространство $%F_{q}^{n}$%, и пусть $%B$% - это любая матрица $%n×r$%, столбцы которой охватывают $%V$%. Тогда приведённая матрица ступенчатого вида по строкам $%B^{\top}$% однозначно определяется $%V$%. Затем обратите внимание, что множество всех таких приведённых матриц ступенчатого вида по строкам имеет соответствие 1-1 с множеством всех диаграмм вида $%\Pi\setminus\lambda$%, ячейки которых заполнены элементами $%F_{q}^{n}$%.

(15 Дек '21 4:47) Rene

Тут ещё в конце надо будет сослаться на то, что тождество верно для бесконечно многих простых q, а поскольку это многочлены, то оно будет верно для любого комплексного q кроме тех значений, где обнуляется знаменатель.

(15 Дек '21 18:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,545

задан
15 Дек '21 0:46

показан
205 раз

обновлен
15 Дек '21 18:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru