отображения - Композиция функций

Это высказывание верно, и оно прямо следует из определения сюръективности отображения.

Отображение во множество $%Z$% (не важно, откуда) будет сюръективным, если оно принимает все значения из $%Z$%. Рассмотрим произвольный элемент $%z\in Z$%. Поскольку $%h$% сюръективно, оно принимает значение $%z$% на некотором элементе $%x$% из $%X$%, то есть существует $%x\in X$% такой, что $%h(x)=z$%. Согласно определению композиции, это значит, что $%g(f(x))=z$%. Следовательно, отображение $%g$% принимает значение $%z$% (на элементе $%f(x)$%). Ввиду произвольности элемента $%z\in Z$%, можно заключить, что $%g$% сюръективно.

При решении такого рода задач полезно иметь в виду, что здесь не бывает каких-либо "волшебных" эффектов. Либо доказательство прямо вытекает из определений, либо утверждение неверно, и можно построить контрпример. Скажем, если бы мы попытались доказать, что $%f$% сюръективно (в рамках условий задачи), то у нас бы ничего не получилось. Соответствующий контрпример легко строится.