|
Можно ли угол идеального куба отрезать наклонной плоскостью так, чтобы все рёбра и стороны основания отрезанного трёхгранника были целочисленными? (может, ответ лежит на поверхности?) задан 30 Окт '13 11:52 
nikolaykruzh... |
|
В качестве простейшего примера можно привести числа 44, 117, 240. Это длины рёбер, попарно перпендикулярных друг другу. При этом $%44^2+117^2=125^2$%; $%44^2+240^2=244^2$%; $%17^2+240^2=267^2$%. Эта конструкция называется "полупифагоров кирпич". Известны бесконечные семейства таких примеров, задаваемые параметрическими формулами и найденные ещё Эйлером. Проблема существования "пифагорова кирпича", для которого точными квадратами будут не только $%a^2+b^2$%, $%a^2+c^2$%, $%b^2+c^2$%, но ещё и $%a^2+b^2+c^2$% ($%a$%, $%b$%, $%c$% -- целые положительные числа), является хорошо известной открытой проблемой. отвечен 31 Окт '13 8:35 
falcao Замечательно! Спасибо Вам,@falcao. Сроду не слышал о"полупифагоровых кирпичах", о формулах Эйлера - по-видимому, известных только в кругах специалистов - и об открытой проблеме сумм трёх квадратов... Через три точки всегда можно провести плоскость - и вопрос отвечен... В который раз поражаюсь Вашей эрудиции! Спасибо!.. И ещё вопрос. Наверное, есть таблицы сумм двух квадратов, являющихся квадратами целых чисел. Не подскажете ли, где их найти? У меня поиск не получился, хотя желание найти их до сих пор не пропало.
(31 Окт '13 9:32)
nikolaykruzh...
Здесь нужны не таблицы, а описание так называемых "пифагоровых троек". По этим ключевым словам Вы легко найдёте нужную информацию. Есть также готовые формулы, позволяющие по числу узнать, сколькими способами его можно представить в виде $%a^2+b^2$%$. Скажем, $%65=8^2+1^2=7^2+4^2$% -- два принципиально разных способа, а число $%67$% в таком виде не представляется. Ещё полезно отметить справедливость такого тождества: $$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2.$$ В качестве $%m$%, $%n$% можно брать любые натуральные числа ($%m > n$%).
(31 Окт '13 13:56)
falcao
Конечно, "67" - число вида 4n + 3 - на две суммы квадратов не разложится. За тождество - спасибо. И вообще - спасибо Вам!
(31 Окт '13 20:26)
nikolaykruzh...
|
Я правильно понимаю, что отрезается треугольная пирамида $%SABC$%, где все три ребра с вершиной $%S$% попарно перпендикулярны, и требуется, чтобы длины всех шести рёбер пирамиды были целыми? Если да, то ответ на такой вопрос вроде как известен.
Да,длины трёх рёбер пирамиды и длины трёх оснований её д. б. целочисленными. Нельзя ли адресок ответа получить?