$%\lim(2(n^3+n)\sqrt{n^2-1}-2n^4-n^2)$% n к бесконечности

задан 30 Окт '13 12:27

изменен 30 Окт '13 12:36

falcao's gravatar image


253k23650

Неплохо было бы ещё уточнить, какими средствами разрешается пользоваться. Например, можно ли применять формулу Тейлора?

(30 Окт '13 12:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

При больших значениях $%n$% значение выражения $%\sqrt{n^2-1}$% близко к $%n$%, поэтому применим тождественные преобразования, выделяя $%n$% в качестве "главной части": $$\sqrt{n^2-1}=n+(\sqrt{n^2-1}-n)=n-\frac1{\sqrt{n^2-1}+n}=n-\frac1{2n}+\left(\frac1{2n}-\frac1{\sqrt{n^2-1}+n}\right).$$ Теперь преобразуем выражение в скобках, приводя всё к общему знаменателю: $$\frac1{2n}-\frac1{\sqrt{n^2-1}+n}=\frac{\sqrt{n^2-1}-n}{2n(\sqrt{n^2-1}+n)}.$$ Числитель здесь преобразуется к виду $%-\frac1{\sqrt{n^2-1}+n}$%, в результате чего получается $$\sqrt{n^2-1}=n-\frac1{2n}-\frac1{2n(\sqrt{n^2-1}+n)^2}.$$ Преобразуем теперь то выражение, предел которого надо найти, используя предыдущее равенство для квадратного корня. Получится $$2(n^3+n)\left(n-\frac1{2n}\right)-2n^4-n^2-\frac{n^2+1}{(\sqrt{n^2-1}+n)^2}.$$ После сокращения подобных членов, а также деления на $%n^2$% числителя и знаменателя дроби, получается $$-1-\frac{1+n^{-2}}{(\sqrt{1-n^{-2}}+1)^2}.$$ Осталось устремить к нулю $%n^{-1}$%, и получается ответ $%-5/4$%.

ссылка

отвечен 30 Окт '13 13:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×743

задан
30 Окт '13 12:27

показан
721 раз

обновлен
30 Окт '13 13:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru