пределы - Найти предел

При больших значениях $%n$% значение выражения $%\sqrt{n^2-1}$% близко к $%n$%, поэтому применим тождественные преобразования, выделяя $%n$% в качестве "главной части": $$\sqrt{n^2-1}=n+(\sqrt{n^2-1}-n)=n-\frac1{\sqrt{n^2-1}+n}=n-\frac1{2n}+\left(\frac1{2n}-\frac1{\sqrt{n^2-1}+n}\right).$$ Теперь преобразуем выражение в скобках, приводя всё к общему знаменателю: $$\frac1{2n}-\frac1{\sqrt{n^2-1}+n}=\frac{\sqrt{n^2-1}-n}{2n(\sqrt{n^2-1}+n)}.$$ Числитель здесь преобразуется к виду $%-\frac1{\sqrt{n^2-1}+n}$%, в результате чего получается $$\sqrt{n^2-1}=n-\frac1{2n}-\frac1{2n(\sqrt{n^2-1}+n)^2}.$$ Преобразуем теперь то выражение, предел которого надо найти, используя предыдущее равенство для квадратного корня. Получится $$2(n^3+n)\left(n-\frac1{2n}\right)-2n^4-n^2-\frac{n^2+1}{(\sqrt{n^2-1}+n)^2}.$$ После сокращения подобных членов, а также деления на $%n^2$% числителя и знаменателя дроби, получается $$-1-\frac{1+n^{-2}}{(\sqrt{1-n^{-2}}+1)^2}.$$ Осталось устремить к нулю $%n^{-1}$%, и получается ответ $%-5/4$%.