Цитата из школьного учебника по алгебре о бесконечно убывающей геометрической прогрессии: "Чем больше номер члена прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т. е. тем меньше его модуль, и с увеличением n этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа". Мне непонятно, как это утверждение может быть справедливо, так как в учебнике не указана зависимость между номером члена прогрессии и выбором положительного числа для сравнения. Если же зависимости нет, то, выбрав положительное, любое по условию, число и произвольный член прогрессии, мы можем обнаружить, что модуль выбранного члена прогрессии больше заданного положительного числа, так как это число, выбранное произвольно, может быть сколь угодно мало. И еще один вопрос - если вы не сочтете это наглостью - касательно такого рода прогрессии: зачем понадобилось в знаменателе формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (b1/(1 - q))менять местами 1 и q (в формуле суммы первых n членов геометрической прогрессии, из которой она была получена: Sn = (b1q^n - b1)/(q - 1))? Эта формула обязательно должна быть положительна или здесь какая-то другая логика? Буду благодарна за помощь.

задан 30 Окт '13 18:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Фразу "с увеличением $%n$% этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа" следует трактовать так. Сначала задано положительное число, а потом уже мы увеличиваем $%n$% и находим такой член, зависящий от выбранного числа, начиная с которого все члены последовательности по модулю меньше этого числа. Если делать наоборот, то, конечно, ничего не получится.

Обычно принято изъясняться так (на языке формул): $$(\forall\varepsilon > 0)(\exists N=N(\varepsilon))(\forall n\ge N)(|b_n| < \varepsilon).$$

В переводе на русский: для любого положительного числа $%\varepsilon$% существует такой номер $%N$%, зависящий от $%\varepsilon$%, что для всех членов последовательности с номерами $%n\ge N$% справедливо неравенство $%|b_n| < \varepsilon$%.

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии именно такова: $%b_1/(1-q)$%. Если за основу взять формулу $%S_n=(b_1q^n-b_1)/(q-1)$%, а затем устремить $%n$% к бесконечности, то $%q^n$% стремится к нулю (в случае $%|q| < 1$%), и тогда в пределе получается $%-b_1/(q-1)$%, что естественным образом упрощается до $%b_1/(1-q)$%. Эти выражения равны между собой, и они оба положительны, но второе проще записывается. Логика здесь примерно такая же, как если бы $%-(-a)$% заменили на $%a$%.

ссылка

отвечен 30 Окт '13 19:00

Спасибо, но Ваши формулы не отображаются, к сожалению.

(30 Окт '13 20:11) Noir

УМВР,смените браузер

(30 Окт '13 20:42) algogol

Теперь все читаемо (возможно, это были лично мои компьютерные глюки), правильно и очень просто... после того как Вы мне объяснили.

(30 Окт '13 21:34) Noir
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×34

задан
30 Окт '13 18:41

показан
1083 раза

обновлен
30 Окт '13 21:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru