геометрическая-прогрессия - Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Фразу "с увеличением $%n$% этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа" следует трактовать так. Сначала задано положительное число, а потом уже мы увеличиваем $%n$% и находим такой член, зависящий от выбранного числа, начиная с которого все члены последовательности по модулю меньше этого числа. Если делать наоборот, то, конечно, ничего не получится.

Обычно принято изъясняться так (на языке формул): $$(\forall\varepsilon > 0)(\exists N=N(\varepsilon))(\forall n\ge N)(|b_n| < \varepsilon).$$

В переводе на русский: для любого положительного числа $%\varepsilon$% существует такой номер $%N$%, зависящий от $%\varepsilon$%, что для всех членов последовательности с номерами $%n\ge N$% справедливо неравенство $%|b_n| < \varepsilon$%.

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии именно такова: $%b_1/(1-q)$%. Если за основу взять формулу $%S_n=(b_1q^n-b_1)/(q-1)$%, а затем устремить $%n$% к бесконечности, то $%q^n$% стремится к нулю (в случае $%|q| < 1$%), и тогда в пределе получается $%-b_1/(q-1)$%, что естественным образом упрощается до $%b_1/(1-q)$%. Эти выражения равны между собой, и они оба положительны, но второе проще записывается. Логика здесь примерно такая же, как если бы $%-(-a)$% заменили на $%a$%.