Задача: Пусть (G, ·) — группа. Определим новую операцию x ◦ y = y · x. Покажите, что (G, ◦) является группой и изоморфна (G, ·). Возможно, задача является простой, но мы почти не проходили эту тему, поэтому я хочу попросить помочь мне в ее решении.

задан 24 Дек '21 23:36

изменен 24 Дек '21 23:39

Изоморфизм переводит каждый элемент в обратный. Ясно, что это биекция, так как она обратна себе, а гомоморфность вытекает из известного тождества для элемента, обратного произведению.

(24 Дек '21 23:38) falcao

Честно говоря, не очень понимаю, как это расписать?

(24 Дек '21 23:41) R136a1

Жаль, что не понимаете -- я словами вроде бы всё объяснил, а от Вас требовалось только знакомство с определением.

f:G->G

f(x)=x^{-1}

f(xoy)=f(yx)=(yx)^{-1}=x^{-1}y^{-1}=f(x)f(y)

Точку для "обычного" произведения я везде опускал, но её можно где надо добавить.

(24 Дек '21 23:44) falcao

сейчас разберусь

(24 Дек '21 23:49) R136a1

немного не понимаю - почему он переводит в обратный? операция же просто меняет их положение. Извините, возможно, я задаю действительно глупые вопросы

(24 Дек '21 23:53) R136a1

Во всем разобрался. Спасибо

(25 Дек '21 0:21) R136a1

@R136a1: наша задача -- установить изоморфизм между группами. Ввиду того, что тождество (yx)^{-1}=x^{-1}y^{-1} лежит на поверхности, нетрудно догадаться, что надо каждый элемент перевести в обратный. Мы сами строим это отображение, обозначая его через f. Оно биективно, и мы проверяем только его гомоморфность.

Я уже говорил, что здесь достаточно осознание того, что требуется доказать или проверить. По сути дела, надо знать определение двух понятий: гомоморфизма групп, и их изоморфизма.

(25 Дек '21 2:07) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,286
×4,287
×4,244
×2,102

задан
24 Дек '21 23:36

показан
199 раз

обновлен
25 Дек '21 2:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru