|
Сколько существует троек $%(a,\:b,\:c)$% натуральных чисел, каждое из которых не превышает 17, для которых число $%k=2^a+3^b+5^c$% оканчивается нулём в десятичной записи? До красивого математического решения мне додуматься не посчастливилось, поэтому пришлось набрякать на Питошке швахкод, который прилагаю катринкой:
Программуллина выдала вот такую последовательность: 1, 2, 6, 16, 35, 54, 84, 128, 189, 250, 330, 432, 559, 686, 840, 1024, 1241. А это значит, что среди чисел, не превышающих 17, требуемых в задаче троек будет ровно 1241. Существует ли красивое математическое решение у этой задачи? задан 3 Янв '22 1:56 
Казвертеночка |
|
Конечно, математическое решение существует. Уж не знаю, в какой мере оно красивое, но заведомо очень простое. При любом c последнее слагаемое оканчивается на 5. Поэтому надо подсчитать число пар (a,b), для которых 2^a+3^b оканчивается на 5, и умножить на 17. Периоды остатков по модулю 10 для степеней 2 и 3 равны четырём. Это 2, 4, 8, 6, под которые подходят 3, 1, 7, 9 соответственно. Для каждого a от 1 до 16 подходят ровно 4 значения для b от 1 до 16. Получается 64. Если a=17, то b сравнимо с 1 по модулю 4. Таких значений будет 5. Если b=17, то для a получается 5 значений (это случай 2+3). Один случай a=b=17 учтён дважды. Значит, мы имеем 64+5+5-1=73 пары. Умножая на 17, имеем 1241. отвечен 3 Янв '22 2:56 
falcao @falcao, большое спасибо!
(3 Янв '22 2:59)
Казвертеночка
1
@falcao Вопрос был бы чуточку интереснее, если бы ноль был включен. Тогда ответ - $%1369$%. @Казвертеночка «Заканчивается нулем в десятичной записи» - эвфемизм для «делится на 10»; «Делится на 10» - это сокращение от «четное и делимое на 5».
(3 Янв '22 4:04)
Rene
1
@Rene: да тут как угодно можно менять параметры. Конечно, возможность брать степени с нулевым показателем вносит некоторое разнообразие, но принципиальных трудностей это не создаёт.
(3 Янв '22 4:15)
falcao
1
@Rene, да, 1369. И этой последовательности тоже нет в OEIS: 1, 4, 11, 24, 46, 72, 108, 158, 225, 298, 387, 498, 634, 778, 944, 1140, 1369, ...
(3 Янв '22 4:15)
Казвертеночка
|