При каких значения параметра а система уравнений $$y^2+2xy+(x^2+2x-3)(3-x^2)=0 \\\ y-ax-6a=0$$ имеет более двух решений?

Я построила первый график состоящий из двух парабол $$y=x^2-3\\ y=-x^2-2x+3$$ В итоге у меня ответ получился $$[-12+2\sqrt{33};10-2\sqrt{21}]$$ Ответ правильный, но есть еще интервалы можете объяснить от куда они вообще берутся?

задан 1 Ноя '13 21:02

10|600 символов нужно символов осталось
2

Я бы решила аналитически. $%\begin{cases} y^2+2xy+(x^2+2x-3)(3-x^2)=0 \\\ y-ax-6a=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(y+x^2+2x-3)(y+3-x^2)=0 \\\ y=ax+6a \end{cases}\Leftrightarrow $%

$%\Leftrightarrow \begin{cases}(ax+6a+x^2+2x-3)(ax+6a+3-x^2)=0 \\\ y=ax+6a \end{cases}$%

Надо требовать, чтобы первое уравнение имело более двух решений (число решений системы равно числу решений первого уравнения):

$%(x^2+x(a+2)+6a-3)(x^2-ax-6a-3)=0.$%

Значит дискриминанты обеих множителей должны быть неотрицательнимы.(Если один из них отрицательный, то один из множителей не имеет корней , и обшее число корней не больше двух).

$%D_1=(a+2)^2-4(6a-3)=a^2-20a+16, D_2=a^2+4(6a+3)=a^2+24a+12.$% Получается ситема неравенств $%\begin{cases} a^2-20a+16 \ge 0\\ a^2+24a+12\ge0 \end{cases} \Leftrightarrow $%

$% \Leftrightarrow a\in(-\infty;-12-2\sqrt{33}]\cup[-12+2\sqrt{33};10-2\sqrt{21}]\cup [10+2\sqrt{21};\infty).$%

Корни двух множителей могут совпадать если $% x^2+x(a+2)+6a-3=x^2-ax-6a-3=0 \Leftrightarrow \begin{cases}(a+1)x=-6a \\ x^2-ax-6a-3=0 \end{cases}$% Это возможно только при $%a=\frac{2\pm\sqrt{13}}9. $% Но эти числа не входят в вышеуказанное множество.

ссылка

отвечен 3 Ноя '13 1:20

изменен 3 Ноя '13 1:58

1

@ASailyan: я тоже считаю, что аналитический способ здесь предпочтительнее. Ведь квадратные уравнения всё равно приходится решать, корни на графиках не видны, а касательные там имеют слишком большой наклон. Правда, к этому решению желательно было бы добавить обоснование того, что условия неотрицательности обоих дискриминантов являются достаточными. В данном случае это так, но в принципе могло оказаться, что какие-то корни разных квадратных уравнений совпадают, и решений оказывается мало.

(3 Ноя '13 1:34) falcao
1

Я тоже заметила этот недостаток, но уже исправила.

(3 Ноя '13 2:00) ASailyan
1

@falcao я уже устала. Если не трудно внимательно прочитайте мое решение. Вроде все правильно, а ответ не совпадает с ответом автора.

(3 Ноя '13 2:12) ASailyan
2

@ASailyan: ответ у Вас получился правильный, насколько я могу судить. Два бесконечных промежутка являются частью ответа. В конце, правда, Вы говорите, что два значения не входят в множество. На самом деле они как раз входят, что видно из графиков. Другое дело, что на число решений это не оказывает влияния: в этих точках вместо четырёх решений получается три, что тоже подходит. Думаю, что это можно обосновать без больших вычислений или сравнений чисел между собой.

(3 Ноя '13 2:39) falcao

@ASailyan так я не говорила что у меня правильный ответ, я говорила что только один промежуток верный, надо было еще найти

(3 Ноя '13 11:27) Amalia
10|600 символов нужно символов осталось
1

Сначала я не понял суть вопроса, но сейчас вроде бы стало ясно, в чём он заключается.

После того, как мы нарисовали графики двух парабол, рассматриваем семейство прямых вида $%y=a(x+6)$%, проходящих через точку $%(-6;0)$%. Находим все критические положения таких прямых. Это прямые, касающиеся парабол, а также прямые, проходящие через точки пересечения парабол. Таких прямых оказывается шесть, и им соответствуют особые значения $%a$%. Две из шести прямых при графическом способе решения довольно легко пропустить, потому что точки касания могут находиться далеко за пределами чертежа. Однако при аналитическом способе нахождения касательных все случаи выявляются.

Далее при анализе интервалов, на которых может находиться $%a$%, оказывается, что те критические значения, для которых прямая $%y=a(x+6)$%, проходит через точку пересечения парабол, ни на что не влияют. А вот "сопряжённые" значения, то есть $%-12-2\sqrt{33}$% и $%-10-2\sqrt{21}$% нужно отдельно анализировать.

ссылка

отвечен 1 Ноя '13 22:20

Точки касания с параболами я рассмотрела. Значит, надо рассмотреть точки где сами параболы касаются друг друга? И что с ними вообще делать?

(2 Ноя '13 13:12) Amalia
1

Там есть точки пересечения парабол, но нет их точек касания между собой. Всего имеется 6 точек, которые как-то могут влиять. Дальше на каждом из промежутков анализируем количество решений и отбираем то, что подходит.

(2 Ноя '13 13:24) falcao

а как именно надо анализировать? можете хотя бы с одной точкой показать, которая не входит в ответ который я уже дала

(2 Ноя '13 18:14) Amalia
1

Общий принцип анализа такой: берёте какую-то из "критических" прямых -- например, одну из касательных. Мы знаем, сколько решений ей соответствует. Далее чуть-чуть её отклоняем по часовой стрелке или против часовой, и смотрим, что изменилось. При таком подходе можно у каждой "критической" точки и на каждом интервале написать число решений.

(2 Ноя '13 18:21) falcao
1

Мне немного непонятен принцип решения: а куда пропали у^2+2xy?

(2 Ноя '13 21:07) epimkin
1

Справа можно заметить выражение $%x^2-3.$% Рассматривая это выражение как единое целое, раскройте скобки. Там Вы заметите часть квадрата двучлена ...

(2 Ноя '13 21:41) Anatoliy
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\begin{cases}y^2+2xy+(x^2+2x-3)(3-x^2)=0 \\\ y-ax-6a=0\end{cases}\Leftrightarrow\left[ \begin{aligned}\begin{cases}y=x^2-3,\\\ y=a(x+6),\end{cases}\\\begin{cases}y=-x^2-2x+3,\\\ y=a(x+6),\end{cases} \end{aligned} \right.\Rightarrow $$$$\Rightarrow\left[ \begin{aligned}x^2-3=a(x+6),\\-x^2-2x+3=a(x+6). \end{aligned} \right. $$ Далее нужно найти дискриминанты каждого из уравнений: $%D_1,\quad D_2.$% Условие, при котором система уравнений будет иметь более двух решений: $$\left[ \begin{aligned}\begin{cases}D_1\ge0,\\\ D_2>0,\end{cases}\\\begin{cases}D_1>0,\\D_2\ge0.\end{cases} \end{aligned} \right.$$

alt text

Каждой параболе соответствуют две касательные, которые проходят через точку $%(-6;0)$%, поэтому нужно проверять пересекают ли касательные другую параболу. Для этого нужно решить квадратное уравнение.

ссылка

отвечен 2 Ноя '13 20:15

изменен 2 Ноя '13 21:03

а что делать с двумя корнями в дискриминанте??

(2 Ноя '13 23:57) Amalia

В моем решении рисунок играет вспомогательную роль. Основное решение до рисунка. Если решите последнюю систему, то получите нужный результат. Неравенства составлены с учетом того, что система должна иметь более двух решений. Кроме того, прямая либо пересекает параболу в двух точках, либо является касательной к параболе. Важно также отметить, что точки пересечения парабол не лежат на прямой, которая проходит через точку $%(-6;0).$%

(3 Ноя '13 13:02) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×431
×12

задан
1 Ноя '13 21:02

показан
774 раза

обновлен
3 Ноя '13 13:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru