2
1

Имеется 7 банок, заполненных на 9/10 краской, в каждой банке свой цвет. Доказать, что переливая краску из банки в банку и равномерно размешивая(другую тару использовать нельзя) нельзя получить ситуацию, в которой в одной из банок все краски смешаны в одинаковой пропорции. Эта задача встретилась в курсе линейной алгебры, и я интерпретировал ее таким образом: состояние банок записывается матрицей 7*7, в каждой строке записаны количества соответствующих красок в данной банке, переливания это некоторые элементарные преобразования матрицы, причем они невырождены, так как не получится опустошить ни одну из банок. Видимо, это правильный путь, но прийти к утверждению задачи мне пока не удалось.

задан 1 Ноя '13 22:22

изменен 1 Ноя '13 22:29

10|600 символов нужно символов осталось
2

Да, это правильный путь. Прежде всего, надо заметить, что элементарные преобразования устроены следующим образом: если из $%i$%-й банки мы перелили какую-то её долю в другую, $%j$%-ю банку, то на матрице это отразилось следующим образом. Строка $%A_j\in{\mathbb R}^7$% заменилась на $%A_j+\lambda A_i$%, а на месте строки $%A_i$% появилась строка $%(1-\lambda)A_i$%. При этом $%\lambda\ne1$%, так как ни одну из банок нельзя опустошить (общий объём краски превышает объём шести полных банок).

В результате осуществлённого преобразования определитель матрицы умножился на $%1-\lambda$%. Действительно, при замене $%A_j$% на $%A_j+\lambda A_i$% и неизменности остальных строк, определитель не меняется (хорошо известное свойство), а далее при умножении $%i$%-й строки на константу он умножается на ту же константу. Изначально матрица была диагональной, и её определитель был равен $%(9/10)^7$%, то есть был отличен от нуля. При каждом преобразовании происходило умножение на ненулевое число, и тем самым определитель всё время отличен от нуля.

Заметим, что сумма строк матрицы всегда одна и та же, так как общий объём каждого вида краски всегда один и тот же. Если допустить, что в какой-то момент в $%i$%-й банке все краски станут смешаны в одной пропорции, то это значит, что $%i$%-я строка станет пропорциональна вектору из единиц. Однако такому же вектору пропорциональна и сумма всех строк. Тогда окажется справедливым векторное равенство вида $%A_i=k(A_1+\cdots+A_7)$%, где $%k$% -- некоторый коэффициент. Но тогда строки матрицы линейно зависимы, а у такой матрицы определитель равен нулю, что приводит к противоречию.

ссылка

отвечен 2 Ноя '13 4:20

@falcao, а не нужно ли в элементарных преобразованиях учитывать, что строку можно переполнить, т.е. Аj + k*Ai <= 1 ?

(21 Ноя '14 17:30) Leva319

@Leva319: смысла написанного Вами неравенства я не понимаю, потому что оно имеет вид "вектор (строка) не превосходит числа". То опасение, которое здесь высказано, представляется лишним, так как в ходе процесса никаких "патологий" происходить не может. Количество вещества какое было, такое и остаётся, то есть "чудесам" появиться неоткуда.

(21 Ноя '14 20:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×999

задан
1 Ноя '13 22:22

показан
856 раз

обновлен
21 Ноя '14 20:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru