|
$% \sqrt{2}+ cosx+|cos \frac{4x}{3}|\cdot sinx=0 $% задан 2 Ноя '13 17:58 
SenjuHashirama |
|
Основная идея: сумма синуса и косинуса $%x$% изменяется в пределах от $%-\sqrt{2}$% до $%\sqrt{2}$%, поэтому опираемся на неравенства. Поскольку $%\sqrt{2}+\cos x=(-\sin x)\cdot|\cos\frac{4x}3|$%, и левая часть положительна, синус принимает отрицательные значения, то есть $%-\sin x > 0$%. Рассмотрим неравенство $%|\cos\frac{4x}3|\le1$% и домножим его на положительное число $%-\sin x$%. Как следствие, получаем $%\sqrt{2}+\cos x\le-\sin x$%. Поскольку $%\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\pi/4)$%, синус этого угла должен быть равен $%-1$%, откуда $%x=-3\pi/4+2\pi k$% при $%k\in{\mathbb Z}$%. Это необходимое условие, чтобы $%x$% было решением, а для превращения его в достаточное надо потребовать ещё, чтобы модуль косинуса $%4x/3$% равнялся $%1$%, то есть синус числа $%4x/3=-\pi+8\pi k/3$% был равен нулю. Легко видеть, что $%k$% должно быть кратно трём, что приводит к ответу $%x=-3\pi/4+6\pi n$%, где $%n\in{\mathbb Z}$%. отвечен 2 Ноя '13 18:49 
falcao |
|
Полноценного ответа сейчас не напишу ( надо убежать..вечно сижу в сети - пока не опоздаю.. и сходу нормально не решу..) Но идея может быть такой: $%cos(x) + |cos(\frac{4x}{3})|\cdot sin(x) = - \sqrt{2}$% -- с левой частью можно сделать что-то подобное "методу дополнительного аргумента": $% A\cdot cosx + B\cdot sinx = \sqrt{A^2 + B^2}\cdot (\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}\cdot cosx + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}\cdot sin x) $%, только в данном случае будут $%A = 1$% и $%B = |cos(\frac{4x}{3})|$% - т.е. $%B$% само зависит от $%x$%, но при каждом отдельно взятом $%x$% формула ведь все равно "работает" (применить можно). А там получится $%\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{1 + cos^2(\frac{4x}{3})} \le \sqrt{2}$% --может быть, это "чем-то поможет".. ( а может, это я "совсем не о том".. но по-другому этот $%|cos(\frac{4x}{3})|$% вообще девать некуда =)) отвечен 2 Ноя '13 18:31 
ЛисаА все ясно, спасибо. Получается, что этот модуль равен 1?
(2 Ноя '13 18:44)
SenjuHashirama
|