Приветствую, математики! Не могу понять как решать СЛАУ методом итераций (методы Гаусса, Крамера, исключения неизвестных и матричный знаю). Смотрел в Вики, что-то не понял что к чему. Ещё там нужна норма матрицы, её смотрел здесь - там всё предельно ясно, но непонятно какую из этих норм брать. Если кому нетрудно, то, пожалуйста, приведите пример решения любой СЛАУ этим методом.

задан 29 Фев '12 8:44

изменен 29 Фев '12 8:44

10|600 символов нужно символов осталось
2

Какую норму брать - неважно, какая нравится и проще. Главное - добиться того, чтобы эта норма была меньше 1. Проще, наверное, взять равномерную норму (максимум модуля компонент). Добиться того, чтобы сумма модулей была меньше 1 (или, например, средний квадрат) - труднее.
Уравнение надо переписать так, чтобы с одной стороны был искомый вектор x. Например, вместо Ax = b запишем (A+E)x-b = x. Основной матрицей будет (A+E), ее норма и должна быть меньше 1. В процессе решения подставляем в левую часть очередное приближенное значение, правая будет его новым значением. Например, в уравнении $%\pmatrix{2&3\\-1&2}\pmatrix{x\\y}=\pmatrix{3\\-2}$% компоненты матрицы слишком большие. Поделим их на -4, получим $$\pmatrix{-0.5&-0.75\\0.25&-0.5}\pmatrix{x\\y}-\pmatrix{-0.75\\0.5}=\pmatrix{0\\0}$$ Прибавляем слева и справа искомый вектор:$$\pmatrix{0.5&-0.75\\0.25&0.5}\pmatrix{x\\y}+\pmatrix{0.75\\-0.5}=\pmatrix{x\\y}$$ В левой части норма матрицы равна $%\max |a_{ij}|$% =0.75<1. Теперь берите начальное значение (x1,y1), подставляйте в левую часть, получайте следующее приближенное значение (x2,y2), снова подставляйте его в левую часть и т.д.
См. также Метод Якоби

ссылка

отвечен 29 Фев '12 9:25

изменен 29 Фев '12 9:45

Спасибо за ответ! В принципе, я догадывался, что систему надо на какое-то число разделить. Этим методом ни разу не пользовался и узнал недавно. У меня завтра гос. экзамен, и там есть такой вопрос.

(29 Фев '12 9:53) DelphiM0ZG

Только иногда надо каждое уравнение делить на свое число (например, если знаки на диагонали разные). Есть и другие способы. Посмотрите по ссылкам.

(29 Фев '12 10:01) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Метод простой итерации (он же метод Якоби)

Мой код метода Якоби решения СЛАУ на С++

Есть еще итерационные методы: метод Зайделя, последовательных релаксаций.

Методы спуска: метод покоординатного спуска, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов.

ссылка

отвечен 29 Фев '12 9:59

изменен 29 Фев '12 10:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,031
×833
×332
×14

задан
29 Фев '12 8:44

показан
2774 раза

обновлен
29 Фев '12 10:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru