|
Любой отрезок $%[a,b];(a \neq b)$% эквивалентен отрезку $%[0,1]$%.Искомое однозначное соответствие можно установить аналитически:$%x \in [0,1],x \leftrightarrow y=(b-a)x+a; y \in [a,b]$%. я понял что множества эквивалентны когда можно из одного множества другому поставить соответствующее число. А вот почему каждый отрезок эквивалентен единичному не совсем ясно.(то есть если записать рациональные числа в единичном отрезке то можно будет подобрать общую формулу эквивалентно любому отрезку,так?) И из чего следует формула $%y=(b-a)x+a$%,объясните поподробнее пожалуйста. Вот график, соответствующий процессу, протекающему с газом. Хоть это по физике, как мне кажется как раз на тему $%y=(b-a)x+a$% Необходимо было в задаче найти макс.температуру и мин.температуру(на графике показана нач.$%(P_1;V_1)$% и конеч. характеристики газа, они даны): минимальная температура получилась в конечных точках, а чтобы найти максимальную ввели параметр $%t \in [0;1]$% и записали $%P=P_1(1+t( \beta -1))$% и $%V=V_1(1+t( \frac{1}{ \beta } -1))$% роль $%a$% я так понял играют начальные координаты, а роль $%b$% конечные,просто я не понял эта функция получается определена от 0 до 1(я провел ось x под графиком для наглядности)и почему так можно было сделать?(это кстати не параметрический способ задания прямой?) задан 3 Ноя '13 18:43 
Dragon65 |
|
Более стандартный термин для таких множеств -- "равномощные". Дело в том, что эквивалентность можно понимать в разных смыслах. Определение у Вас приведено неточное. На самом деле тут должно выполняться несколько условий. Просто поставить что-то чему-то в соответствие можно всегда. Но здесь соответствие должно быть взаимно-однозначным. Это значит, что 1) каждому элементу множества $%X$% ставится в соответствие некоторый элемент множества $%Y$%; 2) разным элементам множества $%X$% соответствуют разные элементы множества $%Y$%; 3) всякий элемент множества $%Y$% поставлен в соответствие некоторому элементу множества $%X$%. Теперь по поводу Вашего примера. Пусть $%a < b$%. Подберём такую линейную функцию, график которой имеет вид $%y=kx+c$%, чтобы значение функции $%y=y(x)=kx+c$% в нуле равнялось $%a$%, а в единице равнялось $%b$%. Из первого условия сразу ясно, что $%c=a$%. Второе условие означает, что $%k+c=b$%, то есть $%k=b-c=b-a$%. Отсюда и получается формула $%y=(b-a)x+a$%. Данная функция, определённая на отрезке $%[0;1]$%, задаёт требуемое взаимно-однозначное соответствие между отрезками $%[0;1]$% и $%[a;b]$%. Все три условия легко проверяются, что можно также увидеть при помощи графика. Речь здесь везде идёт о действительных числах, а не о рациональных. отвечен 3 Ноя '13 18:56 
falcao насчет этих трёх условий взаимно однозначного соответствия- все эти три правила в моем понимании объединяются-- Любому элементу из множества $%X$% соответствует некоторый элемент из $%Y$%, это правильно?(И зачем вообще нужно так расставлять соответствия в множествах-можете привести пример их использования?) С функцией прямой: если нарисовать систему координат $%xOy$% то отрезок от 0 до 1 будет прямой принадлежащий оси $%x$%, а отрезок от $%a$% до $%b$% может быть и наклонной и прямой так? (и можно применять эту формулу если отрезок в 0 допустим не равен $%a$%?)
(4 Ноя '13 10:55)
Dragon65
Все три условия означают разные вещи, и отождествлять их между собой не следует. То, что каждому элементу из $%X$% соответствует некоторый элемент из $%Y$% -- это верно, но это только часть нужной информации. Устанавливать взаимно-однозначные соответствия нужно по той причине, что это отражает интуитивную идею о совпадении "количества" элементов множеств (математики используют термин "мощность" для этой цели). В этом смысле отрезки $%[0;1]$% и $%[a;b]$% равномощны. График линейной функции здесь должен быть наклонным. Значение $%a$% может быть любым.
(4 Ноя '13 17:38)
falcao
т.е. в отрезке от 0 до 1 можно такую составить последовательность, что она будет эквивалентна любому отрезку от а до b(т.е. количество членов последовательностей будет равно),можно так интерпретировать? а насчет понятия "мощность" можете объяснить или ссылку дать на объяснение?
(4 Ноя '13 19:10)
Dragon65
Множество точек отрезка несчётно, и его элементы нельзя представить в виде членов последовательности. Об этом говорит классическая теорема Кантора. Что касается ссылок, то рекомендую популярную книжку: Н.Я.Виленкин, "Рассказы о множествах". В Сети есть её текст. Там всё разъяснено подробно и о соответствиях, и о мощностях, и о Канторе, и обо всём прочем. Написано ясным и хорошим языком, легко и приятно читать.
(4 Ноя '13 19:28)
falcao
|...его элементы нельзя представить в виде членов последовательности...| я так понимаю говорится о бесконечной последовательности, ясно, ведь это же отрезок))) Просто a;b и 0;1 ведь отрезки, и я просто подумал, что можно из отрезка 0;1 взаимно-однозначно поставить элементы количеству членов в любом отрезке от a до b, поэтому идет эта эквивалентность ,это так? За совет с книгой спасибо, постараюсь изучить.
(4 Ноя '13 21:15)
Dragon65
Вы, по всей видимости, пытались наглядно описать эффект установления взаимно-однозначного соответствия, уподобляя его тому, как членам последовательности $%x_1$%, $%x_2$%, ... соответствуют члены другой последовательности $%y_1$%, $%y_2$%, ... . На уровне наглядного представления такая "модель" приемлема, но в данном случае она не полностью подходит. Члены последовательности по определению имеют номера 1, 2, ..., однако оказывается, что в отрезке чисел так много, что им всем сразу невозможно присвоить номера! Что-то всегда останется неучтённым. Почему так -- читайте у Виленкина.
(4 Ноя '13 21:21)
falcao
показано 5 из 6
показать еще 1
|
@Dragon65: я сейчас увидел сделанное Вами добавление и хочу его прокомментировать. Аналогия между одним и другим здесь есть, но она на уровне того, что в физике для описания каких-то процессов (этих или других) тоже используются функции, причём некоторые зависимости являются линейными. Соответственно, возникают графики прямых (или отрезков прямых). Конечно, последние задаются уравнениями прямой. Параметризовать прямую можно по-разному -- в том числе и так, как Вы сделали, меняя $%t$% от $%0$% до $%1$%, если это уместно.