уравнения - Как решать в целых числах

Квадрат чётного числа делится на $%4$%. Квадрат нечётного числа при делении на $%4$% даёт в остатке $%1$%, поскольку $%(2k+1)^2=4k^2+4k+1$%.

Второе слагаемое здесь чётно, а сумма нечётна. Значит, $%x$% нечётно. Тогда у числа $%x^2$% остаток равен $%1$%, а после умножения на $%19$% остаток становится равен $%3$% (все остатки -- от деления на $%4$%). Второе слагаемое делится на $%4$%, и в сумме получается остаток $%3$%. Однако у $%729$% (оно само -- квадрат числа $%27$%) остаток равен $%1$%. Значит, решений в целых числах не имеется.

Можно было решать и по-другому. Ясно, что $%28y^2\le729$%, откуда $%y^2 < 27$%, и $%|y|\le5$%. Достаточно рассмотреть случаи $%y=0,1,2,3,4,5$%, убеждаясь в том, что $%x$% оказывается не целым.