Помогите! Надо доказать формулу $%S(ABC)=r(a) \cdot (p-a)$%, где $%S(ABC)$% − площадь
треугольника $%ABC$%, $%a=BC$%, p = − полупериметр, а r − радиус невписанной окружности, которая касается стороны a и продолжений двух других сторон.

задан 3 Ноя '13 23:54

изменен 4 Ноя '13 19:01

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть точки $%A_1,B_1,C_1$% являются точками касания вневписанной окружности соответственно с стороной $%BC$% и с прямими $%AC,AB$%,а O-центр окружности. Тогда $%OB_1=OC_1=OA_1=r_a,$% и $%OB_1\perp AC,OC_1\perp AB,OA_1\perp BC.$% $%S_{ABC}=S_{AOB}+S_{AOC}-S_{OBC}=\frac12 AC\cdot OB_1+\frac12 AB\cdot OC_1-\frac12 BC\cdot OA_1=$%

$%=\frac12r_a(AC+AB-BC)=\frac12r_a(P-2BC)=r_a(p-a).$%

alt text

ссылка

отвечен 4 Ноя '13 0:16

изменен 4 Ноя '13 1:58

а не затруднит вас рисунок нарисовать пожалуйста

(4 Ноя '13 0:26) Анжелика___

СПАСИБО БОЛЬШОЕ

(4 Ноя '13 10:51) Анжелика___
10|600 символов нужно символов осталось
2

Эта формула доказывается аналогично известной формуле $%S=pr$%. Рассмотрите чертёж, на котором $%O_1$% есть центр вневписанной окружности. Соедините точку $%O_1$% со всеми вершинами треугольника. Сумма площадей треугольников $%O_1AB$% и $%O_1AC$% равна сумме площадей треугольника $%O_1BC$% и $%ABC$%. Площадь каждого из треугольников с вершиной $%O_1$% находится как половина произведения основания (равного $%c$%, $%b$%, $%a$% соответственно) на высоту, которая для всех этих случаев равна $%r_a$%. Складывая две площади и вычитая из них третью, приходим к требуемой формуле.

Отличие от случая $%S=pr$% только в том, что там всё складывалось, а здесь присутствует ещё и вычитание.

ссылка

отвечен 4 Ноя '13 0:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,086
×2,579
×733
×642

задан
3 Ноя '13 23:54

показан
1761 раз

обновлен
4 Ноя '13 10:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru