|
интеграл xln((1+x)/(1-x))dx= x^2/2ln((x+1)/(1-x)) - 1/2интеграл (-2x^2/(x^2-1)dx = x^2/2ln((x+1)/(1-x)) + интеграл x^2/(x^2-1)dx= задан 4 Ноя '13 18:12 
Lana56 |
|
Как дальше можно интеграл решить? - У ВАС ЕСТЬ НЕПРАВИЛЬНАЯ РАЦИОНАЛЬНАЯ ДРОБЬ ... В НЕЙ НАДО выделить целую часть (ПОДЕЛИВ В СТОЛБИК ИЛИ НЕМНОГО ПРЕОБРАЗОВАВ ЧИСЛИТЕЛЬ) ... и проинтегрировать ПОЛИНОМ (ЦЕЛУЮ ЧАСТЬ) И ОСТАВШУЮСЯ правильную дробь... Хотя проще было изначально, для использования формулы интегрирования по частям, представлять $%x = \left(\frac{x^2-1}{2}\right)'$% или $%x\,dx = d\left(\frac{x^2-1}{2}\right)$% (ПРОСТО Я НЕ ЗНАЮ В КАКОМ ВИДЕ ВЫ ПРИВЫКЛИ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ЭТУ ФОРМУЛУ)... тогда оставшийся интеграл был бы сразу табличный... =============================== UPD: @falcao, но обычно интегрируют по частям тогда, когда это не приводит к слишком сложным выражениям - Я всегда думал, что эта формула имеет достаточно чёткое поле применения... но вопрос даже не в этом... Слагаемое 1/(x2−1) можно при необходимости разложить на простейшие дроби в виде 1/2 умноженной на 1/(x−1)−1/(x+1), но можно воспользоваться и готовой табличной формулой. - Если Вы возводите интеграл от такой функции в ранг табличных, то подразумевается, что производная от логарифма дроби тоже практически табличная... Тогда небольшой взгляд вперёд подсказывает вид, в котором удобно представить второй множитель для максимального упрощения результата применения формулы интегрирования по частям (это стандартный приём, который отрабатывается на таких примерах)... в зависимости от формы записи формулы получим $$\int x\;\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\;dx = \int \left(\frac{x^2-1}{2}\right)'\;\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\;dx \quad \text{или} \quad \int \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\;d\left(\frac{x^2-1}{2}\right),$$ откуда формула даёт результат $$\frac{x^2-1}{2}\;\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)- \int \frac{x^2-1}{2}\;\frac{1}{1-x^2}\;dx...$$ отвечен 4 Ноя '13 18:33 
all_exist @Lana56, Я правильно понимаю, что вы пытаетесь мне сказать, что надо сделать так - Ну, начало такое... $%\frac{(x^2 - 1) + 1}{x^2-1}$%... а дальше у Вас пошла какая-то путаница... или я просто не понял набор Вашего решения...
(4 Ноя '13 19:32)
all_exist
Вообще должно быть как-то так: интеграл( -1/(2(x+1) + 1/(2(x-1) +1) Это по решению интегралов онлайн. Только я не понимаю как получилась 1/2
(4 Ноя '13 19:36)
Lana56
Это называется разложение в сумму простейших дробей... представляете $%\frac{1}{x^2-1} = \frac{A}{x -1} + \frac{B}{x+1}$%... приводите к общему знаменателю и сравниваете числители, из равенства которых и находите $%A,B$%...
(4 Ноя '13 20:01)
all_exist
Скажите, куда исчез x^2?
(4 Ноя '13 20:11)
Lana56
Продолжу здесь, так как внизу нет возможности оставить комментарий. Если просто взять разность дробей $%1/(x-1)$% и $%1/(x+1)$%, то после приведения к общему знаменателю в числителе будет $%(x+1)-(x-1)=2$%, а нам нужно, чтобы там была единица. Поэтому мы и домножили на $%1/2$%. Это чисто арифметические преобразования.
(4 Ноя '13 20:46)
falcao
Большое Вам спасибо, очень выручили )))))))
(4 Ноя '13 20:56)
Lana56
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Можно сначала записать логарифм частного как разность логарифмов. Получится разность двух интегралов вида $%\int x\ln(1\pm x)\,dx$%. Каждый из них вычисляется аналогичным образом, при помощи интегрирования по частям: $%xdx=d(x^2/2)$%. отвечен 4 Ноя '13 19:02 
falcao Я имел в виду, что $$\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\ln(1+x)-\ln(1-x).$$ Если я правильно понял Вашу расстановку скобок. Дальше домножаем на $%x$%, получаем разность интегралов, и считаем каждый интеграл по отдельности.
(4 Ноя '13 19:33)
falcao
Я исхожу из того, что сначала делается несложное преобразование, и далее каждый из интегралов $%\ln(1+x)dx$% и $%\ln(1-x)dx$% вычисляется по частям. Этот способ мне представляется наиболее простым. При желании можно, конечно, сначала проинтегрировать логарифм дроби, но обычно интегрируют по частям тогда, когда это не приводит к слишком сложным выражениям, в которых легко запутаться. Что касается интеграла от функции $%x^2/(x^2-1)$%, то она равна $%1+1/(x^2-1)$%. Оба слагаемых -- табличные интегралы.
(4 Ноя '13 19:54)
falcao
Сейчас я обратил внимание на то, что интегрировать логарифм дроби тут не надо, то есть Ваш способ вполне годится. Возникает интеграл от функции $%x^2/(x^2-1)$%, и он вычисляется тем способом, который я описал выше. Слагаемое $%1/(x^2-1)$% можно при необходимости разложить на простейшие дроби в виде $%1/2$% умноженной на $%1/(x-1)-1/(x+1)$%, но можно воспользоваться и готовой табличной формулой.
(4 Ноя '13 20:00)
falcao
$$\frac{x^2}{x^2-1}=\frac{(x^2-1)+1}{x^2-1}=1+\frac1{x^2-1}$$ Тождество $$\frac1{x^2-1}=\frac12\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right)$$ проверяется справа налево приведением дробей к общему знаменателю, равному $%(x-1)(x+1)=x^2-1$%.
(4 Ноя '13 20:28)
falcao
|