G – группа невырожденных комплексных матриц, H – подгруппа матриц с вещественным определителем. Доказать, что H – нормальный делитель G. Является ли факторгруппа G/H абелевой, циклической, конечной?

задан 21 Фев '22 4:46

10|600 символов нужно символов осталось
0

Это стандартная задача на применение теоремы о гомоморфизмах. Здесь нетрудно угадать вид гомоморфизма, ядром которого является H. Тогда она автоматически будет нормальной подгруппой, и факторгруппу мы также будем знать.

Матрице A сначала сопоставим её определитель. Пусть он равен re^{iф} в тригонометрической форме. Сопоставим такому числу поворот плоскости на угол ф. Ясно, что это отображение корректно определено. Определитель произведения матриц равен произведению определителей, а при перемножении тригонометрических форм, аргументы складываются. Ядро состоит из матриц с вещественным определителем, так как именно им соответствует тождественный поворот на угол ф=0.

Группа поворотов абелева, и при этом несчётна. Понятно, что она не будет ни конечной, ни циклической.

ссылка

отвечен 21 Фев '22 4:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,342
×4,352
×1,421
×570

задан
21 Фев '22 4:46

показан
266 раз

обновлен
21 Фев '22 4:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru