|
G – группа невырожденных комплексных матриц, H – подгруппа матриц с вещественным определителем. Доказать, что H – нормальный делитель G. Является ли факторгруппа G/H абелевой, циклической, конечной? задан 21 Фев '22 4:46 |
|
Это стандартная задача на применение теоремы о гомоморфизмах. Здесь нетрудно угадать вид гомоморфизма, ядром которого является H. Тогда она автоматически будет нормальной подгруппой, и факторгруппу мы также будем знать. Матрице A сначала сопоставим её определитель. Пусть он равен re^{iф} в тригонометрической форме. Сопоставим такому числу поворот плоскости на угол ф. Ясно, что это отображение корректно определено. Определитель произведения матриц равен произведению определителей, а при перемножении тригонометрических форм, аргументы складываются. Ядро состоит из матриц с вещественным определителем, так как именно им соответствует тождественный поворот на угол ф=0. Группа поворотов абелева, и при этом несчётна. Понятно, что она не будет ни конечной, ни циклической. отвечен 21 Фев '22 4:58 
falcao |