Комбинаторика, Геометрия

Итак, пусть $%n\ge8$%, и рассматриваются только тройки диагоналей, без участия стороны. Пусть три диагонали проведены. Они попарно не пересекаются даже по концам. Получается 6 концевых точек. Среди них одна диагональ "внутренняя" и две "крайние" в понятном смысле. Выберем одну из двух крайних диагоналей, и обозначим точки по часовой стрелке буквами A, B, C, D, E, F, чтобы AB была выбранной крайней диагональю. Подсчитаем количество получившихся конфигураций из 6 пронумерованных точек, и в конце разделим на 2, чтобы получить ответ.

Точку A выбираем $%n$% способами, остальное $%C_{n-1}^5$% способами. Точки нумеруем по часовой стрелке, начиная с A, и требуем, чтобы ни $%AB$%, ни $%DE$% не оказались сторонами. Случаю, когда $%AB$% -- сторона, соответствует $%nC_{n-2}^4$% вариантов: точка A выбирается $%n$% способами, как и выше, точку $%B$% однозначно, и остальному соответствует число сочетаний. Случай, когда стороной оказывается $%DE$%, соответствует такому же количеству вариантов. Эти величины надо вычесть, и в соответствии с формулой включений и исключений, надо учесть случай, когда и $%AB$%, и $%DE$% будут сторонами. Он при вычитании был учтён дважды, то есть его надо вернуть. Нетрудно видеть, что здесь получится $%nC_{n-3}^3$%.

Итого с учётом последующего деления пополам будет $$ \frac{n}2\cdot({C_{n-1}^5-2C_{n-2}^4+C_{n-3}^3})=\frac{n(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)}{240}. $$