В равнобедренном треугольнике ABC проведена медиана AM к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABM и AMC, равны 36 и 9.

задан 5 Ноя '13 7:19

изменен 6 Ноя '13 22:05

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку синусы обоих углов при вершине $%M$% одинаковы, применение теоремы синусов к двум треугольникам даёт нам отношение сторон $%AB:AC$%. Оно такое же, как отношение радиусов описанных окружностей, то есть равно $%36:9=4$%.

Из этого, в частности, следует, что $%B$% является вершиной равнобедренного треугольника (в условии об этом прямо не сказано). Если бы было наоборот, то оказалось бы, что основание в 4 раза длиннее боковой стороны, но это противоречит неравенству треугольника.

Можно обозначить половину основания через $%x$%, и тогда боковая сторона равна $%8x$%. Из этих данных находится высота, опущенная на основание: $%h=3\sqrt7x$%.

Теперь можно выразить через $%x$% длину медианы $%AM$%, опуская из точки $%M$% перпендикуляр $%MK$% на основание. При этом $%K$% лежит посередине между серединой основания и точкой $%C$%, откуда $%AK=3x/2$%. Сторона $%MK$% равна половине высоты. Теорема Пифагора позволяет найти $%m=AM$%. Это будет $%3\sqrt2x$%.

Теперь всё готово для нахождения радиуса $%R$% окружности, описанной около $%ABC$%. По теореме синусов, применённой к этому треугольнику, $%8x=2R\sin\gamma$%, где $%\gamma$% -- величина угла при вершине $%C$%. Для треугольника $%AMC$% та же теорема даёт $%m=2\cdot9\sin\gamma$%. Деля одно на другое, получаем $%R/9=8x/m=4\sqrt2/3$%. Отсюда $%R=12\sqrt2$% и $%R^2=288$%. Величину $%x$% тоже легко найти, но об этом в задаче не спрашивается.

ссылка

отвечен 5 Ноя '13 9:25

Ага, понятно.. значит, точно я где-то наврала.. =))

(5 Ноя '13 9:30) ЛисаА

Перечитала решения.. @falcao, у Вас как-то "более по-человечески" все это посчитано ( и медиана - без привлечения "суммы квадратов диагоналей параллелограмма" - тоже лучше смотрится..) Не знаю, убирать свой комментарий, или нет.. Но мне сейчас надо убежать, вечером вернусь - посмотрю.. =) тогда, наверное, и удалю свой коммент.

(5 Ноя '13 10:04) ЛисаА

@ЛисаА: интересно, что я на черновике решал тоже через формулу $%R=\frac{abc}{4S}$%, чтобы быстрее найти ответ. Потом уже сократил аргументацию по ходу дела, а когда начал писать, то понял, что даже $%x$% находить не надо.

(5 Ноя '13 12:03) falcao

Еще не "вернулась" - но высунулась в сеть не надолго.. Свой ответ я все-таки удалила - потому что мне больше нравится вариант @falcao =) По сути - да, то же самое, но посчитано как-то.. легче.. =) без привлечения "формул" (теорема синусов + теор. Пифагора - смотрится проще, чем то, что я записывала: формула $%R = \frac{abc}{4S}$% + формула длины медианы..)

(5 Ноя '13 16:49) ЛисаА

Почему боковая сторона равна 8x, ведь AB:AC=4???

(2 Янв '14 18:56) doomsday

@doomsday: у меня сказано, что за $%x$% обозначена половина основания. Тогда основание будет $%2x$%, а боковая сторона в 4 раза больше, то есть $%8x$%.

Это обычный приём -- иногда бывает удобно так обозначать, чтобы избегать дробных коэффициентов.

(2 Янв '14 19:01) falcao

@falcao, Cпасибо большое, невнимательно прочитал, упустил этот момент

(3 Янв '14 14:25) doomsday
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здравствуйте, вот если честно, одного я точно не понимаю. Ну вот почему вы пишите, что синусы углов при вершине М одинаковые? С чего это было взято? Это ведь всего лишь медиана, и углы при медиане разные?

ссылка

отвечен 9 Ноя '13 14:45

Углы там, конечно, разные, но они смежные, то есть в сумме составляют 180 градусов. А у таких углов синусы одинаковые в силу тождества $%\sin x=\sin(180^{\circ}-x)$%.

(9 Ноя '13 14:49) falcao

Спасибо большое вам. Сам не понимаю, как смог такое пропустить

(10 Ноя '13 13:42) forland
10|600 символов нужно символов осталось
0

http://math.hashcode.ru/users/925/falcao можете посчитать какой будет ответ , если вместо " 36 и 9" в задаче будет написано "33 и 11"?

ссылка

отвечен 9 Дек '13 15:51

@николай1231: здесь изложено решение, которое от специфики чисел не зависит. Проследите ход решения, и сделайте то же самое со своими числами. Смысла писать новое решение для каждой новой пары чисел я не вижу. Если в решении что-то будет непонятно -- задавайте по этому делу вопросы.

(9 Дек '13 16:06) falcao

http://math.hashcode.ru/users/925/falcao я в конце туплю что-то. АМ=х√11 h=х√35 что дальше делать не пойму . честно мне бы просто ответ решение не нужно

(9 Дек '13 16:52) николай1231

@николай1231: я помогаю только тем, кто хочет освоить способ решения. Простое сообщение ответов мне кажется вещью абсолютно бесполезной. Но Вас осталось совсем немного -- только разобраться с последним абзацем. Там, где было равенство с участием $%8x$%, теперь имеется $%6x$%. Длину $%m$% Вы нашли, и в соответствующем равенстве вместо числа 9 в правой части будет 11. Остальное, надеюсь, легко восстановите. Полученный ответ можно будет сверить.

(9 Дек '13 17:28) falcao

@николай1231: для того, чтобы заменить в формуле число 9 на число 11, знаний 9-го класса вполне достаточно. У Вас ведь уже наиболее сложная часть решения получена, то есть длину медианы $%m$% Вы нашли. Осталось совершить простое арифметическое действие. Ответ я говорить не буду, чтобы не превращать процесс решения задач в профанацию. Но если Вы покажете своё решение, следуя рекомендациям, то я, конечно, могу сказать, верно оно или нет.

(9 Дек '13 19:23) falcao

@николай1231: комментарий я вынужден был удалить, чтобы иметь возможность ответить. Здесь имеется какой-то странный лимит на число комментариев, и он зависит от случая. Короче говоря, ответить я так и не смог -- пришлось ещё несколько записей удалить. А сказать я вот что хотел: на этом форуме для каждого нового вопроса принято заводить новую запись. Пока мы обсуждали ту же задачу, но с другими числами, всё было в порядке. Но Вы здесь начали обсуждать задачу по физике. А я не так давно давал Вам ссылку на "соседний" форум, посвящённый именно физике, где про это и надо спрашивать.

(10 Дек '13 17:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Извините, но как высоту нашли?

ссылка

отвечен 6 Янв '14 19:03

@veronika6601: высоту нашли через теорему Пифагора. Если её провести, то получаются два равных прямоугольных треугольника. В них гипотенуза равна $%8x$%, а один из катетов (половина основания) равен $%x$%. Тогда второй катет равен $%x\sqrt{8^2-1^2}=3x\sqrt7$%, а это и есть высота.

(6 Янв '14 19:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×972

задан
5 Ноя '13 7:19

показан
4860 раз

обновлен
6 Янв '14 19:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru