|
В равнобедренном треугольнике ABC проведена медиана AM к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABM и AMC, равны 36 и 9. задан 5 Ноя '13 7:19 
Allan |
|
Поскольку синусы обоих углов при вершине $%M$% одинаковы, применение теоремы синусов к двум треугольникам даёт нам отношение сторон $%AB:AC$%. Оно такое же, как отношение радиусов описанных окружностей, то есть равно $%36:9=4$%. Из этого, в частности, следует, что $%B$% является вершиной равнобедренного треугольника (в условии об этом прямо не сказано). Если бы было наоборот, то оказалось бы, что основание в 4 раза длиннее боковой стороны, но это противоречит неравенству треугольника. Можно обозначить половину основания через $%x$%, и тогда боковая сторона равна $%8x$%. Из этих данных находится высота, опущенная на основание: $%h=3\sqrt7x$%. Теперь можно выразить через $%x$% длину медианы $%AM$%, опуская из точки $%M$% перпендикуляр $%MK$% на основание. При этом $%K$% лежит посередине между серединой основания и точкой $%C$%, откуда $%AK=3x/2$%. Сторона $%MK$% равна половине высоты. Теорема Пифагора позволяет найти $%m=AM$%. Это будет $%3\sqrt2x$%. Теперь всё готово для нахождения радиуса $%R$% окружности, описанной около $%ABC$%. По теореме синусов, применённой к этому треугольнику, $%8x=2R\sin\gamma$%, где $%\gamma$% -- величина угла при вершине $%C$%. Для треугольника $%AMC$% та же теорема даёт $%m=2\cdot9\sin\gamma$%. Деля одно на другое, получаем $%R/9=8x/m=4\sqrt2/3$%. Отсюда $%R=12\sqrt2$% и $%R^2=288$%. Величину $%x$% тоже легко найти, но об этом в задаче не спрашивается. отвечен 5 Ноя '13 9:25 
falcao Ага, понятно.. значит, точно я где-то наврала.. =))
(5 Ноя '13 9:30)
ЛисаА
Перечитала решения.. @falcao, у Вас как-то "более по-человечески" все это посчитано ( и медиана - без привлечения "суммы квадратов диагоналей параллелограмма" - тоже лучше смотрится..) Не знаю, убирать свой комментарий, или нет.. Но мне сейчас надо убежать, вечером вернусь - посмотрю.. =) тогда, наверное, и удалю свой коммент.
(5 Ноя '13 10:04)
ЛисаА
@ЛисаА: интересно, что я на черновике решал тоже через формулу $%R=\frac{abc}{4S}$%, чтобы быстрее найти ответ. Потом уже сократил аргументацию по ходу дела, а когда начал писать, то понял, что даже $%x$% находить не надо.
(5 Ноя '13 12:03)
falcao
Еще не "вернулась" - но высунулась в сеть не надолго.. Свой ответ я все-таки удалила - потому что мне больше нравится вариант @falcao =) По сути - да, то же самое, но посчитано как-то.. легче.. =) без привлечения "формул" (теорема синусов + теор. Пифагора - смотрится проще, чем то, что я записывала: формула $%R = \frac{abc}{4S}$% + формула длины медианы..)
(5 Ноя '13 16:49)
ЛисаА
Почему боковая сторона равна 8x, ведь AB:AC=4???
(2 Янв '14 18:56)
doomsday
@doomsday: у меня сказано, что за $%x$% обозначена половина основания. Тогда основание будет $%2x$%, а боковая сторона в 4 раза больше, то есть $%8x$%. Это обычный приём -- иногда бывает удобно так обозначать, чтобы избегать дробных коэффициентов.
(2 Янв '14 19:01)
falcao
показано 5 из 7
показать еще 2
|
|
Здравствуйте, вот если честно, одного я точно не понимаю. Ну вот почему вы пишите, что синусы углов при вершине М одинаковые? С чего это было взято? Это ведь всего лишь медиана, и углы при медиане разные? отвечен 9 Ноя '13 14:45 
forland Углы там, конечно, разные, но они смежные, то есть в сумме составляют 180 градусов. А у таких углов синусы одинаковые в силу тождества $%\sin x=\sin(180^{\circ}-x)$%.
(9 Ноя '13 14:49)
falcao
Спасибо большое вам. Сам не понимаю, как смог такое пропустить
(10 Ноя '13 13:42)
forland
|
|
http://math.hashcode.ru/users/925/falcao можете посчитать какой будет ответ , если вместо " 36 и 9" в задаче будет написано "33 и 11"? отвечен 9 Дек '13 15:51 
николай1231 @николай1231: здесь изложено решение, которое от специфики чисел не зависит. Проследите ход решения, и сделайте то же самое со своими числами. Смысла писать новое решение для каждой новой пары чисел я не вижу. Если в решении что-то будет непонятно -- задавайте по этому делу вопросы.
(9 Дек '13 16:06)
falcao
http://math.hashcode.ru/users/925/falcao я в конце туплю что-то. АМ=х√11 h=х√35 что дальше делать не пойму . честно мне бы просто ответ решение не нужно
(9 Дек '13 16:52)
николай1231
@николай1231: я помогаю только тем, кто хочет освоить способ решения. Простое сообщение ответов мне кажется вещью абсолютно бесполезной. Но Вас осталось совсем немного -- только разобраться с последним абзацем. Там, где было равенство с участием $%8x$%, теперь имеется $%6x$%. Длину $%m$% Вы нашли, и в соответствующем равенстве вместо числа 9 в правой части будет 11. Остальное, надеюсь, легко восстановите. Полученный ответ можно будет сверить.
(9 Дек '13 17:28)
falcao
@николай1231: для того, чтобы заменить в формуле число 9 на число 11, знаний 9-го класса вполне достаточно. У Вас ведь уже наиболее сложная часть решения получена, то есть длину медианы $%m$% Вы нашли. Осталось совершить простое арифметическое действие. Ответ я говорить не буду, чтобы не превращать процесс решения задач в профанацию. Но если Вы покажете своё решение, следуя рекомендациям, то я, конечно, могу сказать, верно оно или нет.
(9 Дек '13 19:23)
falcao
@николай1231: комментарий я вынужден был удалить, чтобы иметь возможность ответить. Здесь имеется какой-то странный лимит на число комментариев, и он зависит от случая. Короче говоря, ответить я так и не смог -- пришлось ещё несколько записей удалить. А сказать я вот что хотел: на этом форуме для каждого нового вопроса принято заводить новую запись. Пока мы обсуждали ту же задачу, но с другими числами, всё было в порядке. Но Вы здесь начали обсуждать задачу по физике. А я не так давно давал Вам ссылку на "соседний" форум, посвящённый именно физике, где про это и надо спрашивать.
(10 Дек '13 17:58)
falcao
|
|
Извините, но как высоту нашли? отвечен 6 Янв '14 19:03 
veronika6601 @veronika6601: высоту нашли через теорему Пифагора. Если её провести, то получаются два равных прямоугольных треугольника. В них гипотенуза равна $%8x$%, а один из катетов (половина основания) равен $%x$%. Тогда второй катет равен $%x\sqrt{8^2-1^2}=3x\sqrt7$%, а это и есть высота.
(6 Янв '14 19:14)
falcao
|