|
Пусть дан треугольник ABC, причём: AB > AC; AB > BC. Обозначим: $$AC/AB = SIN B = COS A$$; $$BC/AB = SIN A = COS B$$ (тригонометрические функции в этом случае условимся обозначать с помощью прописных букв в отличие от обычной, школьной тригонометрии). Пусть степень треугольника будет x. Тогда: $$SIN^{x} A + SIN^{x} B =SIN^{x} (A + B) = SIN^{x} C$$. Обозначим: $$SIN A/SIN C = SN A$$; $$SIN B/SIN C = SN B$$; отсюда: $$SN^{x}A + SN^{x} B = 1$$ (что-то вроде обобщения основной формулы школьной тригонометрии, потому что при x = 2 возникает последняя). При SN B = 1 SN A = 0 (???), а при SN A = 1 SN B = 0 (???), хотя в действительности вместо нуля в обоих случаях может быть поставлена любая величина, большая нуля, но меньшая (или равная) 1. Чем объяснить такую неопределённость, выплывающую из, казалось бы, правильных формул? $$Отвечаю \@MathTrbl\ \на\ поле\ вопроса$$. Задан треугольник некоторой степени x. Опишем вокруг него окружность радиуса R. Тогда стороны треугольника, выраженные через радиус, будут: $%2R sin A; 2R sin B; 2R sin C (наибольшая сторона)$%. Поэтому: $$(2R sin A)^{x} +(2R sin B)^{x} = (2R sin C)^{x}$$. Отсюда и следует злополучная формула. Ошибок при выводе вроде нет.$$@falcao, 09.11.2013$$ 1) Из\ справедливого\ алгебраического\ равенства $$a^{x} + b^{x} = c^{x}$$, применимость \которого\ к\ геометрии\ требует\ специального\ обоснования\, но\ выполнить\ которое\ не\ составляет\ труда, следует\ алгебраическая\ формула\ $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$, прежде, в обобщённом виде уже соотнесённая с геометрическими понятиями, и поэтому её можно считать алгебраической формой классической теоремы Пифагора. Это – по вопросу прояснения наших позиций. 2) Мнение по парадоксу. Если задан треугольник степени х и если длина одной из боковых сторон становится равной длине основания, то величина х «равна» бесконечности, а сумма двух бесконечностей по любому равна бесконечности, не зависимо от величины оснований конечных слагаемых, возводимых в степень «бесконечность». В школьной тригонометрии величина х = 2, поэтому парадокса не возникает. задан 5 Ноя '13 11:42 
nikolaykruzh...
показано 5 из 10
показать еще 5
|
|
По-моему, тут дело вообще не в обобщённых синусах и прочем, а в числах. Всё это можно перевести на язык трёх положительных чисел. И тогда станет ясно, что "парадоксальные" случаи относятся к ситуации, когда одно из чисел обращается в ноль (чего быть не должно), или когда два наибольших числа становятся одинаковыми. В этом случае число $%x$% (та самая "степень") просто не определено. Ведь там при определении используется тот факт, что числа $%a/c$% и $%b/c$% положительны и меньше единицы. Судя по всему, ничего больше за всем этим здесь и не стоит. отвечен 8 Ноя '13 11:24 
falcao $$(a/c)^{x} + (b/c)^{x} = 1$$; если $%b = c$%, то $%a = 0$%, что противоречит условию: $%a > 0$%. Общеизвестное условие:"на нуль делить нельзя" не приносит ясность в математику: "нос вытащишь - хвост увязнет, хвост вытащишь - нос увязнет". Уводить обсуждение от наглядной, геометрической интерпретации к числовой не прояснит ситуацию. Теорему Пифагора на числах, кажется, ещё никто не доказал: геометрических - хоть пруд пруди, а числовых - чёрт-ма, как говорил Н. В. Гоголь. Я попытался это сделать, так @chameleon готов был сжечь меня за это на костре... В общем, осталось в запасе 5 символов.
(8 Ноя '13 12:41)
nikolaykruzh...
Здесь нет наглядной геометрической интерпретации по той причине, что от обычной геометрии с её углами Вы фактически отказались. И само число $%x$% здесь появляется через свойства чисел, а не через геометрию. Тот разговор с @chameleon, на который Вы сослались, я помню. Дело в том, что там шла речь о разных способах доказательства теоремы Пифагора, а Ваше рассуждение всего лишь устанавливало существование троек положительных чисел, удовлетворяющих уравнению $%a^2+b^2=c^2$%. Последний факт очевиден (берём любые $%a,b$% и полагаем $%c=\sqrt{a^2+b^2}$%), но это не доказательство самой теоремы.
(8 Ноя '13 13:09)
falcao
Формула с х-ами оперирует с обычными углами, которые можно замерить, можно посчитать по формулам "школьной" тригонометрии, так что фактического отказа нет. Число "х" - это, да, не геометрическая величина, она как бы дополняет геометрию, так же как двойка в теореме Пифагора - тоже не геометрическая величина, но она этого упрёка не заслуживает...Там, если помните, рассматривалось уравнение$%a^{x} + b^{x} = c^{x}$%, где х могло принимать всевозможные значения. Формула полностью отвечала теореме Пифагора (даже в общем случае).Если она верна в общем случае, тем более верна для частного случая.
(8 Ноя '13 15:25)
nikolaykruzh...
Углы-то можно замерить, но дело в том, что функции, которые Вы определили, зависят от длин, а не от углов. Это следует из вида формул. Я надеюсь, что Вы понимаете разницу между теоремой о прямоугольном треугольнике и абстрактной формулой, которой эта теорема описывается. Из существования тройки чисел со свойством $%a^2+b^2=c^2$% (очевидного факта) не вытекает доказательство теоремы Пифагора. Ведь такие тройки существуют и для других показателей, но теорема к ним не имеет отношения.
(8 Ноя '13 16:30)
falcao
Функции школьной тригонометрии тоже зависят только от длин, а не от углов, это тоже следует из вида формул для определения sin и cos... Вашу надежду на моё понимание разницы между теоремой ... и т. д. я не понял... Если доказано, что всегда справедливо равенство $$ a^{x} + b^{x} = c^{x}$$ (с соответствующими ограничениями)(величина х определена на всей числовой оси для всех x > 1), то почему из него запрещено сделать частный вывод математического выражения классической теоремы Пифагора, для которого х = 2? Разве множество чисел, определяемых по $$ a^{2} + b^{2} = c^{2}$$, не часть целого?
(8 Ноя '13 22:45)
nikolaykruzh...
Странно, что Вы не видите разницу между совершенно разными утверждениями. Теорема Пифагора описывает свойства прямоугольного треугольника. У неё есть много разных доказательств. Но если я возьму какие-то числа -- например, $%3,4,5$% и замечу, что $%3^2+4^2=5^2$%, то это не будет доказательством теоремы Пифагора. Здесь в рассуждении вообще не рассматривались никакие треугольники.
(8 Ноя '13 22:56)
falcao
В таком случае на числовом доказательстве теоремы Пифагора надо поставить крест... А если взять в общем случае:$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$ - это тоже не доказательство?.. Вообще: формулировка т. П.: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". Так? Значит, только геометрическое доказательство и должно быть! И всё-таки - нет! Формула, которую я привёл выше, - абстрактно говоря, это теорема Пифагора (алгебраическое выражение её геометрического смысла)). Любой инопланетянин согласится со мною. Ну а Вы - сомневаюсь!.. Не обижайтесь: шучу!
(9 Ноя '13 0:13)
nikolaykruzh...
Давайте окончательно проясним вопрос. Рассмотрим три утверждения. 1) Существуют прямоугольные треугольники. 2) Во всяком прямоугольном треугольнике выполнено равенство $%a^2+b^2=c^2$%, где $%a,b$% -- катеты, $%c$% -- гипотенуза. 3) Существуют положительные числа со свойством $%a^2+b^2=c^2$%. Очевидно, что из 2) следует 3) -- с учётом 1). Это и есть та связь между теоремой Пифагора и утверждением, о котором Вы говорите. Однако пункт 3) можно доказать совсем легко, положив $%c=\sqrt{a^2+b^2$%. А из 3) вывести 2) не проще, чем взять и доказать теорему Пифагора саму по себе любым из способов.
(9 Ноя '13 12:24)
falcao
показано 5 из 8
показать еще 3
|
Непонятна используемая символика. Если треугольник не прямоугольный, то что называется СИНусом в Вашем смысле? Я не против введения любого нового понятия, если оно корректно определено. Но вот этот Ваш SIN, определённый по формуле, он является функцией чего? Написано, что это функция от B, но B это просто вершина. Та величина, которую Вы ввели, на деле есть функция не от B, а от всего треугольника ABC. Зная его длины, я могу найти по Вашим формулам SIN(A,B,C) от трёх переменных -- точек плоскости. Может быть, парадокс исчезнет, если скорректировать обозначения?
Очень справедливое замечание. Отношение противолежащей углу стороны к наибольшей есть СИНус его, т. е. то же, что и в прямоугольном треугольнике. В общем случае (который практически использовать, по-видимому, весьма проблематично) привлекает внимание только парадокс, которого не существует в обычной тригонометрии. Меньшие углы в прямоугольном треугольнике меняются от 0 до 90, а общем случае - от 0 до 60. Может, в этом разгадка парадокса? "Вершина" и "величина угла" в данном случае - это одно и то же. AC = 5, BC = 7, AB = 10. (SIN B) = 0,5; (SIN A) = 0,7 и т. д.
Пока нет нужного уровня прояснения. Аналогия с обычной ситуацией понятна. Но в ней речь идёт о синусе угла треугольника, измеряемого в градусах или радианах. В евклидовой геометрии оказывается, что отношение длин $%AC/AB$% в прямоугольном треугольнике зависит только от величины угла, которую обозначают через $%\angle B$%, или в сокращённой записи просто как $%B$%. Но в общем случае это уже не так: там отношение зависит от всего треугольника в целом. Поэтому главный вопрос здесь такой: функцией ЧЕГО является рассматриваемый Вами СИНус? Вы говорите про СИНус "его", но что есть "он" или "оно"?
Насколько я понял из комментария, он есть угол, поскольку это единственное слово мужского рода во втором предложении, которое предшествует слову "его".
@MathTrbl точно проанализировал предложение: "он" - это угол, противолежащий стороне, СИНус которой определяется. Но @falcao справедливо протестует, потому что этот СИНус и синус того угла, который соответствует прямоугольному треугольнику - величины разные, а угол один и тот же. Определение, предложенное автором, некорректно "с точки зрения" прямоугольного треугольника. Ну, а если школьной тригонометрии нет? И существует только эта формула (с х-ами, третья в тексте вопроса)? Могли бы мы построить тригонометрию в этом случае?
Если задан угол с вершиной $%B$% как геометрическая фигура, то мы можем произвольно выбрать точку $%A$% на одном из лучей. Расстояние $%AB$% этим фиксируется. Далее, если точку $%C$% мы выбираем на другом луче, то отношение $%AC/AB$% зависит от положения этой точки. И если $%AC$% -- это не перпендикуляр, ответ может быть почти что любым, до бесконечности. При фиксации другой константы $%x$% вместо двух надо просто синус и косинус заменять на их подходящие степени, чтобы имело место тождество $%SIN^x\varphi+COS^x\varphi=1$%, а другой аналогии не прослеживается.
Если заданы длины сторон треугольника $%ABC$%, то последний задан определённо: известны все его углы, найденные по формулам школьной тригонометрии; с помощью компьютера определена его степень x. Справедлива формула 3 с х-ами (в тексте вопроса), в формуле 3 углы уже известные, "школьные". Формула 3 справедлива до тех пор, пока какая-либо из боковых сторон не станет равна основанию. Почему так?
Что имеется в виду под формулой 3?
В тексте вопроса написано шесть соотношений: первые два - это определения СИН и КОС, а третье - это формула, на которую я всё время ссылаюсь, формула обобщения основной формулы школьной тригонометрии, формула с х-ами. Основная формула школьной тригонометрии вытекает из формулы с х-ами в качестве частного случая при х = 2. Выводится формула с х-ами элементарно просто. Но она приводит к парадоксу! Она не работает в равнобедренном треугольнике! А "школьная" работает всегда. Странно! Почему? Парадоксы теории множеств и рассматриваемый парадокс - какая между ними связь? Или этой связи нет?
А как вы её выводите? Возможно, причина парадокса кроется в некоторой ошибке при выводе. Напишите, пожалуйста.