|
Доказать что если $%a$% и $%b>0$%, и $%ab>2011a+2012b$%, то $$a+b>(√2011+√2012)^2$$ задан 5 Ноя '13 12:56 
parol |
|
Положим $%n=2011$%. Ясно, что $%ab > na$% и $%ab > (n+1)b$%. Следовательно, $%a > n+1$%, $%b > n$%. В неравенстве $%ab-na-(n+1)b > 0$% прибавим $%n(n+1)$% к обеим частям. Левая часть станет равна $%(a-(n+1))(b-n)$%, и она больше $%n(n+1)$%. Множители $%a-(n+1)$% и $%b-n$% положительны. Можно применить к ним неравенство о среднем: $$\frac{a-(n+1)+b-n}2 \ge \sqrt{(a-(n+1)(b-n)} > \sqrt{n(n+1)}.$$ Это значит, что $%a+b > n+(n+1)+2\sqrt{n}\sqrt{n+1}=(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})^2$%, что и требовалось доказать. отвечен 5 Ноя '13 14:09 
falcao |