$%xy'+y=y^2ln(x)$%

Я попробовала через замену $$y=uv$$

$$y'=u'v+v'u$$

Вот только $$y^2lnx$$ меня вводит в ступор. Как быть? Помогите, пожалуйста.

задан 5 Ноя '13 15:59

изменен 5 Ноя '13 21:37

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
4

Доброго дня. @sasha001, у Вас уравнение Бернулли - можно разделить на $%y^2$%, и получить "чистое" линейное уравнение первого порядка. Но и линейные потом можно решать либо "методом вариации произвольных постоянных", либо с помощью этой замены $%y(x) = u(x)\cdot v(x)$%. А такую замену можно и сразу сделать в уравнении Бернулли. (Мне было бы "привычней" свести к линейному - и записать вариацию произв. постоянной. Но если Вам привычнее замена $%y=uv$% - то можно и сразу через нее). Т.е. можно и так, как Вы начинали.. $%x\cdot u' \cdot v + x\cdot u\cdot v' +u\cdot v = u^2\cdot v^2\cdot ln(x)$%
тогда $%x\cdot u'\cdot v + u\cdot (x\cdot v' + v) = u^2\cdot v^2\cdot ln(x)$%
и теперь находите $%v$% из условия $%x\cdot v' + v = 0$% ($%v$% - частное решение такого ур-ия). Потом то $%v$%, которое получится (кажется, там будет $%v = \frac{1}{x}$%) - подставите в ур-ие $%x\cdot u'\cdot v = u^2\cdot v^2\cdot ln(x)$% -- если не ошибаюсь, у Вас потом выйдет интеграл $%\int (\frac{ln(x)}{x^2})dx$% - тоже не страшно, возьмется по частям..

ссылка

отвечен 5 Ноя '13 17:01

изменен 5 Ноя '13 17:44

а можно вот так? : разделила на y^2 получилось ур-ие: xy/y^2+1/y=ln(x) далее я заманила z=1/y=y^-1; z'=-y^-2*y'=-y/y^-2. затем у меня получилось уравнение которое я не могу решить x(-u'v+v'u)-uv=ln(x)......подскажите пожалуйста)))))))

(7 Ноя '13 10:42) sasha001

@sasha001, Вы свели к линейному ( почти свели). Можете, конечно, его еще на $%x$% разделить, если Вам "мешает" этот $%x$% в начале.. Будет "обычный", классический вид линейного уравнения: $%z' - \frac{z}{x} = -\frac{ln(x)}{x}$%, и дальше $%u'v + uv' - \frac{uv}{x} = -\frac{ln(x)}{x}$%. Но и без этого ( с тем $%x$% перед $%z'$% ) тоже точно так же решается.. $%u'\cdot v\cdot x + u\cdot (v'\cdot x - v) = - ln(x)$% -- и приравниваете к нулю скобку $%v'x - v = 0$% (ищете функцию $%v(x)$% как любое частное решение такого уравнения)..

(7 Ноя '13 18:20) ЛисаА

ага...а я могу сгрупировать так: u'v+v(u'-v/x)=-lnx/x... дальше приравниваю скобку к нулю???)))))

(7 Ноя '13 19:01) sasha001

не-а..не поняла =) в последнем комментарии Вы как-то "лихо" сгруппировали =) если раскрыть скобки - это будет 2 шт. $%u'v$%, и какое-то $%\frac{v^2}{x}$%

(7 Ноя '13 19:12) ЛисаА

ой...u'v+u(v'-v/x)=-ln/x)))) так?)

(7 Ноя '13 19:26) sasha001

Да, последнее - так. И решаете $%\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = 0$%, при чем ищется любое частное решение (константу С берем какую хотим =)). А потом уже это найденное $%v(x)$% подставим в уравнение $%u'\cdot v = -\frac{ln(x)}{x}$% (а то, что было в скобках, мы все равно уже сделали =0) -- и здесь находим общее решение $%u = u(x)$%
Извините, что ответила почти через час.. (была в сети - но на другом сайте..)

(7 Ноя '13 20:18) ЛисаА

огромное спасибо))

(8 Ноя '13 4:44) sasha001
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709

задан
5 Ноя '13 15:59

показан
1080 раз

обновлен
8 Ноя '13 4:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru