|
Пусть для кардинала $%\kappa$% верно следующее: если $%\kappa_2 < \kappa$%, то $%2^{\kappa_2} < \kappa$%. Доказать, что тогда если $%\kappa_1 < \kappa_2 < \kappa$%, то $%\kappa_1^{\kappa_2} < \kappa$%. задан 17 Мар '22 4:54 
logic
показано 5 из 11
показать еще 6
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
17 Мар '22 4:54
показан
289 раз
обновлен
20 Мар '22 0:28
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
По-моему, к=3 будет контрпримером.
Ой, я перепутал "направленность" импликации. Теперь утверждение должно быть верно.
Тогда, наверное, всё просто: к бесконечен (случай к=0 опускаем), а тогда к1<=2^{к1}, к1^{к2}<=2^{к1xк2}<=2^{к2xк2}~2^{к2} < к.
А откуда берется к1^{к2}<=2^{к1xк2}?
@logic: ну, это же совсем стандартно -- пользуемся тем, что к1 < 2^{к1} по теореме Кантора, и далее возводим (с более слабым знаком <=) в степень к2.
А для конечного к утверждение неверно, или почему рассматривается только бесконечный к? И почему Вы к=0 отметили отдельно, не отнеся его к случаю конечного к, который не рассматривается? И насчет к1, к2 - они могут быть любыми?
@logic: я рассматриваю случай бесконечного к в качестве основного. Для к=0 утверждение верно, но оно при этом тривиально. Если к > 0, то полагаем к=n+1, n>=0. Тогда при к2=n имеем 2^{к2}=2^n > n, то есть исходное положение для конечных ненулевых кардиналов неверно. В силу этого далее считаем к бесконечным.
Заметьте, что разбираться в таких вещах -- пустая трата времени: никто из нас не узнал ничего нового о математических объектах. Это критерий того, что разбирательство было бесполезным. Мне не очень понятно стремление решать подряд все упражнения из какого-то источника.
@falcao, Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира. (с) Лобачевский
@haosfortum: здесь дело не в абстрактной сущности задачи, а в том, что она чисто математически неинтересна на содержательном уровне. Утверждение искусственное, и оно легко следует из известных утверждений.
Вообще, для меня "утилитарные" соображения не являются решающими: в математике интересно всё, что обладает внутренней ценностью и содержательной новизной.
@falcao, каждому интересно что-то свое. Математику можно изучать и совершенно не взирая на ее прикладную составляющую и получать от этого удовольствие. А этого уже достаточно, чтобы этим заниматься.
@haosfortum: так я говорю ровно о том же. Меня лично прикладной аспект совершенно не привлекает. Данная задача плоха не тем, что она "абстрактная", а тем, что она неинтересна по содержанию.