Внутри тетраэдра $%ABCD$% выбрана произвольная точка $%O$%. Докажите, что справедливо равенство

$$V_A \bullet \overrightarrow{OA} + V_B \bullet \overrightarrow{OB} + V_C \bullet \overrightarrow{OC} + V_D \bullet \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$$

где $%V_A, V_D, V_C, V_D$% - объемы тетраэдров $%BCDO, CADO, ABDO, ABCO$% соответственно.

задан 1 Мар '12 12:41

изменен 1 Мар '12 18:35

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Видимо, барицентрические координаты в пространстве обладают тем же свойством, что и на плоскости. Хотелось бы представить данное равенство как-то геометрически, т.е. реализовать слагаемые в виде геометрических объектов.

(1 Мар '12 13:42) DocentI

Да, они обладают этим свойством.

(1 Мар '12 14:19) Anatoliy

Да, требуется доказать, что каждая барицентрическая координата - это относительный объем противолежащего симплекса. Скорей всего, это верно и для n-мерного пространства.

(1 Мар '12 14:45) Андрей Юрьевич

Да, это верно и для n-мерного пространства.

(1 Мар '12 16:09) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
0

Интересный факт, я его раньше не знала.

Можно использовать то же решение, которое предложил автор для плоского случая:

Рассмотрим тетраэдр $%A_1A_2A_3A_4$%. Барицентрические координаты точки O - это числа $%p_i, i=1,..,4$% сумма которых равна 1 такие, что $%\overrightarrow{MO}=\sum{p_i\overrightarrow{MA_i}}$% (они не зависят от M). Найдем ГМТ для которых $%p_1=const$%. Выбирая в качестве M точку $%A_1$%, получим, что $%\overrightarrow{A_1O}=\sum_{i=2}^{4}{p_i\overrightarrow{A_1A_i}}$%. Значит, точки O пробегают плоскость, параллельную грани $%A_2A_3A_4$%, которая гомотетична плоскости этой грани с коэффициентом $%p_2+p_3+p_4=1-p_1$%. Она делит высоту тетраэдра в отношении (1-p):p. Значит, расстояние от O до выбранной грани составляет долю $%p_1$% от высоты тетраэдра. Но это число равно также отношению объема тетраэдра $%OA_2A_3A_4$% к объему исходного. Итак, барицентрические координаты можно рассматривать как доли объемов, на которые делят тетраэдр плоскости, проходящие через O.
Подставляя в координатное представление M = O получаем нужное равенство.

ссылка

отвечен 1 Мар '12 23:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×184
×2

задан
1 Мар '12 12:41

показан
1012 раз

обновлен
1 Мар '12 23:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru