|
Внутри тетраэдра $%ABCD$% выбрана произвольная точка $%O$%. Докажите, что справедливо равенство $$V_A \bullet \overrightarrow{OA} + V_B \bullet \overrightarrow{OB} + V_C \bullet \overrightarrow{OC} + V_D \bullet \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$$ где $%V_A, V_D, V_C, V_D$% - объемы тетраэдров $%BCDO, CADO, ABDO, ABCO$% соответственно. задан 1 Мар '12 12:41 
Anatoliy |
|
Интересный факт, я его раньше не знала. Можно использовать то же решение, которое предложил автор для плоского случая: Рассмотрим тетраэдр $%A_1A_2A_3A_4$%. Барицентрические координаты точки O - это числа $%p_i, i=1,..,4$% сумма которых равна 1 такие, что $%\overrightarrow{MO}=\sum{p_i\overrightarrow{MA_i}}$% (они не зависят от M). Найдем ГМТ для которых $%p_1=const$%. Выбирая в качестве M точку $%A_1$%, получим, что $%\overrightarrow{A_1O}=\sum_{i=2}^{4}{p_i\overrightarrow{A_1A_i}}$%. Значит, точки O пробегают плоскость, параллельную грани $%A_2A_3A_4$%, которая гомотетична плоскости этой грани с коэффициентом $%p_2+p_3+p_4=1-p_1$%. Она делит высоту тетраэдра в отношении (1-p):p. Значит, расстояние от O до выбранной грани составляет долю $%p_1$% от высоты тетраэдра. Но это число равно также отношению объема тетраэдра $%OA_2A_3A_4$% к объему исходного. Итак, барицентрические координаты можно рассматривать как доли объемов, на которые делят тетраэдр плоскости, проходящие через O. отвечен 1 Мар '12 23:16 
DocentI |
Видимо, барицентрические координаты в пространстве обладают тем же свойством, что и на плоскости. Хотелось бы представить данное равенство как-то геометрически, т.е. реализовать слагаемые в виде геометрических объектов.
Да, они обладают этим свойством.
Да, требуется доказать, что каждая барицентрическая координата - это относительный объем противолежащего симплекса. Скорей всего, это верно и для n-мерного пространства.
Да, это верно и для n-мерного пространства.