геометрия - Найти углы треугольника

Пусть $%ABC$% -- такой треугольник, в котором $%BM$% -- медиана и $%BH$% -- высота. Ясно, что $%M\ne H$% и $%AB\ne BC$%. Будем для определённости считать, что $%AB > BC$%. Тогда $%AH > HC$%, и точка $%M$% лежит между $%A$% и $%H$%. Угол $%\angle A$% равен $%\frac{\pi}2-2\alpha$%, и угол $%\angle C$% равен $%\frac{\pi}2-\alpha$%. Понятно также, что $%\alpha < \pi/3$%.

Отношение сторон $%AB:BC$% равно отношению синусов противолежащих углов, согласно теореме синусов. В данном случае это будет $%\cos\alpha:\cos2\alpha$%. Таким образом, $%BA=k\cos\alpha$%, $%BC=k\cos2\alpha$%.

Поскольку $%BM$% -- медиана, она разбивает треугольник $%ABC$% на две части равной площади. Приравнивая эти площади, находимые как половина произведений сторон на синус угла между ними (всё это -- при вершине $%B$%), мы приходим к равенству $%\cos\alpha\sin\alpha=\cos2\alpha\sin2\alpha$%, то есть $%\sin2\alpha=\sin4\alpha$% ввиду формулы синуса двойного угла. Оба синуса положительны (ввиду $%2a < 2\pi/3$%), откуда $%4\alpha < \pi$%, и тогда $%2\alpha+4\alpha=\pi$%. Отсюда $%\alpha=\pi/6$%, угол $%B$% прямой, а углы $%A$% и $%C$% имеют по $%30$% и $%60$% градусов соответственно.