|
Здравствуйте. Никак не выходит решить данные задачи. Помогите, пожалуйста, прийти к решению следующих задач:
1. Грань ABB
1A1
призмы ABCA1
B1
C1
с равными ребрами наклонена к плоскости основания под углом 60∘
. Треугольник ABC
принят за основание правильного тетраэдра MABC
, расположенного с заданной призмой по разные стороны от плоскости ABC
. На ребрах MB
и A1
C1
взяты соответственно точки P
и Q
– середины этих ребер. Считая AB=a
, найдите расстояния: 1) MB1
; 2) PC1
; 3) PQ
.
-
Сторона основания правильной пирамиды MABC
равна a
. отношение высоты пирамиды к медиане ее основания равно 2:3. На ребрах MB
, AC
и AB
взяты соответственно точки PQ
и N
– середины этих ребер, а на медиане CN
взята точка L такая, что CL:CN=5:6
и точка K такая, что CK:CN=1:3
такая, что CK
. Найдите расстояние от точки P
до точек: 1) Q
; 2) K
; 3) L
.
-
На ребрах BB1
, CD
, AD
и CC1
куба ABCDA1
B1
C1
D1
взяты соответственно точки P
, Q
, R
и K
– середины этих ребер, а на грани BCC1
B1
взята точка O
– центр этой грани. Найдите отношения, в которых плоскостью C1
PQ
делятся отрезок: 1) RO
; 2) DO
; 3) RK
.
-
На отрезке O1
E
, соединяющего точку O1
(середина высоты MO
правильной пирамиды MABCD
) с точкой E
(серединой ее ребра CD
) взята точка P
(середина отрезка O1
E
), а на прямой BO1
взята точка V
такая, что точка O1
является серединой отрезка BV
. Считая AB=a
и угол AMC
равным 90∘
, найдите расстояния между точками пересечения прямой PV
с плоскостями: 1) ABC
и MAC
; 2) ABC
и MDB
; 3) MAD
и MDB
.
-
Из-за недостаточного понимания того, как решить эту задачу, не выходит правильно построить чертёж.
Мои рассуждения:
т.к. у данной грани по условию смежные рёбра равны, то это ромб. Тогда треугольник ABB1
-- равнобедренный. По условию, по другую сторону плоскости основания расположен правильный тетраэдр, следовательно, любая его вершина проецируется в ортоцентр противоположной грани. Вершины A
и B1
, B
и B1
, C
и B1
лежат в соответствующих плоскостях. Проведём через каждую пару указанных точек прямые B1
A
, B1
B
и B1
C
из вершины B1
, получим тетраэдр с правильным основанием, грань которого -- равнобедренный треугольник. Вопрос: является ли достаточным условием для правильности тетраэдра правильное основание? В некоторых источниках его определяют просто как тетраэдр с правильным основанием, хотя чаще это " тетраэдр, у которого все грани -- правильные треугольники".
С целью найти расстояние MB1
я попытался показать, что построенный тетраэдр тоже правильный, а значит его высота (она же -- высота призмы) пересечёт ортоцентр; т.к. у двух данных тетраэдров общее правильное основание, то их высоты пересекают один и тот же центр, т.е. являются частями одной прямой. Но прийти к этому не вышло. Её длину найти ведь несложно, но правильны ли мои рассуждения? И если так, то как показать, что построенный тетраэдр также правильный? Я предполагаю, что как раз через угол в 60 градусов, но ведь это угол между гранью и плоскостью, что меня сбивает столку. Не пойму, как этим правильно воспользоваться.
Надеюсь, что написал вполне ясно, ведь нормально начертить не удалось.
|
Я так и не пришёл к решению. Прошу, дайте, пожалуйста, подсказку. Может я вовсе не так всё делаю и из-за этого не получается продвинуться дальше.
Построенный тетраэдр не является правильным, хотя у него пять рёбер одинаковой длины. На самом деле достаточно спроектировать точку М на верхнюю плоскость призмы (точка М1) и с помощью прямоугольного треугольника ММ1В найти длину МВ1. Речь идёт о самой первой задаче.