Числа вида 11, 13, 17, 19, называются четверкой простых. Доказать, что все четверки лежат в прогрессиях 11 + 30l, 13 + 30l, 17 + 30l, 19 + 30l.

задан 6 Ноя '13 14:51

10|600 символов нужно символов осталось
1

Уточним определение: имеется в виду, что каждое из четырёх чисел $%p$%, $%p+2$%, $%p+6$%, $%p+8$% является простым, и при этом $%p\ne5$%. Если последней оговорки не сделать, то четвёрка чисел $%5$%, $%7$%, $%11$%, $%13$% тоже состоит из простых, но она не содержится в прогрессии указанного вида.

Все рассматриваемые простые числа здесь нечётны. Далее, воспользуемся тем известным фактом, что среди $%n$% последовательных натуральных чисел всегда есть ровно одно число, делящееся на $%n$%. Рассмотрим три последовательных числа $%p$%, $%p+1$%, $%p+2$%. Среди них на $%3$% делится $%p+1$%. (В принципе, простое число может делится на три, если оно равно трём, но в случае $%p=3$% число $%p+6$% оказывается составным.)

Далее, рассмотрим пять последовательных чисел $%p$%, $%p+1$%, $%p+2$%, $%p+3$%, $%p+4$%. Среди них одно делится на $%5$%. Это не $%p$%, так как мы сказали, что $%p\ne5$%. Также это не $%p+2$%, так как оно простое, большее пяти. Этим числом не может оказаться $%p+1$%, поскольку в противном случае $%p+6$% делилось бы на $%5$%, и не может быть $%p+3$% из-за числа $%p+8$%. Значит, на $%5$% делится $%p+4$%.

Выше было сказано, что $%p+1$% кратно трём, и тогда это же верно для $%p+4$%. Таким образом, $%p+4$% делится на $%15$%, будучи нечётным. Тогда $%p-11=(p+4)-15$% чётно и кратно $%15$%, а потому кратно $%30$%. Полагаем $%p-11=30m$%, где $%m$% целое, и все четыре числа принимают нужный вид: $%30m+11$%, $%30m+13$%, $%30m+17$%, $%30m+19$%.

ссылка

отвечен 6 Ноя '13 17:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×191
×42
×17

задан
6 Ноя '13 14:51

показан
528 раз

обновлен
6 Ноя '13 17:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru