приношу всем свои извенения в условии была опечтка $%AB$%$%=$%$%AC$%
Треугольник $%ABC$% таков, что $%AB$%$%=$%$%AC$%.Биссектрисы углов $%CAB$% и $%ABC$% пересекают стороны $%BC$% и $%CA$% в точках $%D$% и $%E$% соответственно. Обозначим через $%K$% центр окружности,вписанной в треугольник $%ADC$%. Оказалось, что угол $%BEK$% $%=$% $%45$% градусов. Найдите все возможные значения угла $%CAB$%.

задан 6 Ноя '13 20:51

изменен 7 Ноя '13 14:30

Я составил некие тригонометрические уравнения, и они получились достаточно сложные. Оказалось, что треугольник будет правильным (в этом случае всё очевидным образом выполняется), но я хочу проверить свои вычисления -- вдруг там упущено какое-то из решений?

(6 Ноя '13 23:19) falcao

Возможен второй случай, по крайне мере в ответе

(7 Ноя '13 14:20) SenjuHashirama

два возможных значения для угла 60 градусов и еще одно

(7 Ноя '13 14:21) SenjuHashirama

@SenjuHashirama, Вы имеете ввиду $%90^o$%?...

(7 Ноя '13 17:13) all_exist

@SenjuHashirama: а не сделать ли Вам новый вопрос по изменённому условию задачи? А то здесь уже есть решённый и принятый вариант, а другую задачу тоже имело бы смысл порешать и пообсуждать.

(7 Ноя '13 19:38) falcao

да сейчас сделаю

(7 Ноя '13 20:26) SenjuHashirama
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

По условию точка $%K$% лежит на биссектрисе угла $%\angle BCA$%... а также на биссектрисе угла $%\angle BEC$%... То есть построенная окружность вписана в $%\Delta BCE$%... а, следовательно, и в четырёхугольник $%DCEO$%, где $%O$% - пересечение биссектрис $%\Delta ABC$%... Откуда, $%\angle ADC = 90^o$% и очевидный вывод о правильности $%\Delta ABC$%...

alt text

ссылка

отвечен 7 Ноя '13 0:16

изменен 7 Ноя '13 0:20

@all_exist: каким путём Вы пришли к выводу, что угол $%ADC$% прямой? Является ли это чем-то непосредственно очевидным?

Ещё одно замечание: в условии не сказано, что $%K$% лежит именно на биссектрисе угла $%BEC$%: теоретически допустим второй случай, когда $%K$% лежит в другой полуплоскости. Он вообще-то отвергается, и рассуждение там простое, но я считаю, что его надо как минимум упомянуть.

(7 Ноя '13 12:51) falcao

@falcao, Ну, я не расписывал решение подробно... когда $%K$% лежит в другой полуплоскости - очевидно противоречит тому, что это центр вписанной окружности, поскольку он будет лежать снаружи трекгольника... каким путём Вы пришли к выводу, что угол ADC прямой? - соображения симметрии... или равенство треугольников...

(7 Ноя '13 13:41) all_exist

@all_exist: какие-то подробности можно, конечно, опускать, но тут дело вот в чём. Мне кажется, в этой задаче именно потому и была "таинственная" фраза о возможных нескольких решениях, потому что надо рассматривать два случая. Я согласен, что один из них отпадает, но это можно заметить "задним числом". И если кто-то пишет такое решение в контрольной или на олимпиаде, то за неупоминание случая оценку могут снизить. Я не про Вас говорю, так как Вы человек квалифицированный, а про тех, кто что-то где-то будет решать: здесь лучше предостерегать. Насчёт треугольников: как усматривается равенство?

(7 Ноя '13 13:59) falcao

@falcao, Насчёт треугольников: как усматривается равенство? - Ну, $%K\in CO$%, которая биссектриса угла $%\angle BCA$%, и, в силу вписанности окружности, биссектриса угла $%\angle EOD$%... дальше второй признак равенства...

(7 Ноя '13 17:13) all_exist

@all_exist: я всё-таки не зря спрашивал -- было ощущение, что там можно обойтись без искусственного построения. Конечно, лучше всего ссылаться на равенство треугольников: ведь мы знаем, что точка $%K$% равноудалена от всех сторон четырёхугольника, поэтому она лежит на биссектрисе угла $%DOE$%, и тогда всё работает.

(7 Ноя '13 19:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Сейчас я понял, что задачу можно решить без вычислений, но надо рассмотреть два случая, один из которых сразу отпадает.

Мы знаем, что угол $%BEK$% равен $%45$% градусам, но в задаче прямо не сказано, по какую сторону от прямой $%BE$% лежит точка $%K$%. Допустим, что она находится в той же полуплоскости, что и $%A$%. Тогда $%EK$% -- биссектриса угла $%BEA$%, и $%K$% равноудалена от сторон $%AC$% и $%EO$%, где $%O$% -- точка пересечения $%AD$% и $%BE$%. При этом получается, что окружность вписана в треугольник $%AOE$%, то есть не может быть вписана в $%ADC$% (хотя бы за счёт того, что её центр не принадлежит $%CO$%).

Таким образом, точка $%K$% лежит по другую сторону прямой, на биссектрисе прямого угла $%BEC$%, будучи равноудалённой от лучей $%EO$% и $%EC$%. Это значит, что она вписана в четырёхугольник $%EODC$%. Я сначала выражал длины через углы и составлял уравнение, но этого делать не надо, потому что рассуждать можно следующим образом.

Опустим из точки $%O$% перпендикуляр $%OD'$% на сторону $%BC$%. Мы хотим установить, что $%D=D'$%: этим сразу всё будет доказано, так как биссектриса $%AD$% совпадёт с высотой. Четырёхугольник $%EOD'C$% обладает осью симметрии $%CO$%. Точка $%K$% равноудалена от сторон $%OE$% и $%EC$%, поэтому она находится на таком же расстоянии от симметричных сторон $%OD'$% и $%D'C$%. То есть окружность с центром $%K$% радиуса $%r$%, где $%r$% есть расстояние от $%K$% до $%AC$%, вписана ещё и в четырёхугольник $%EOD'C$%. Значит, речь идёт о той же окружности, которая вписана в $%ADC$% и в $%EODC$%. Тем самым, касательные к окружности $%OD$% и $%OD'$% совпадут, откуда $%D=D'$%.

ссылка

отвечен 7 Ноя '13 0:29

10|600 символов нужно символов осталось
1

Получилось единственное решение 60 градусов. Обозначим искомый угол $% 4\cdot\alpha$%. Опустим из точки $%K$% перпендикуляр $%KN$% на $%AC$%. Пусть $%EN=x$%. Из треугольника $%AKN: KN=(a+x)\cdot tg (\alpha)$%; из треугольника $%CKN: KN=(a-x)\cdot tg (2\cdot \alpha)$%; из треугольника $%EKN: KN=x$%. Приравняв $%KN$%, и использовав тригонометрические соотношения для двойных углов, получим $%tg^2(\alpha)-4tg(\alpha)+1=0$%, нам подходит решение меньше единицы, т.е. $%tg(\alpha)=2-\sqrt3$%. Нетрудно показать, что это тангенс 15 градусов. А тогда весь угол $% 4\cdot 15=60$% градусов.

ссылка

отвечен 6 Ноя '13 23:25

изменен 7 Ноя '13 0:31

falcao's gravatar image


193k1632

У меня так же, но я не был стопроцентно уверен в ответе из-за оговорки в условии "найти все значения". Конечно, это само по себе ничего не значит, так как значение может быть и одно, но в таких случаях чаще всего просто просят найти угол. А вычисления были длинные, так что легко можно было где-то обсчитаться.

(6 Ноя '13 23:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×598

задан
6 Ноя '13 20:51

показан
526 раз

обновлен
7 Ноя '13 20:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru