Пусть X - банахово пространство и G из L(X) - множество состоящее из операторов имеющих обратные операторы принадлежащее пространству L(X). Доказать непрерывность в L(X) отображения f такого, что f(A) = A^(-1), где A из G.

задан 11 Апр 16:35

изменен 11 Апр 16:36

1

Надо уточнять условие. Под обратными операторами подразумеваются ограниченные или нет? И L(X) состоит из ограниченных или нет?

(11 Апр 16:42) caterpillar

@caterpillar, L(X) - пространство линейных ограниченных операторов, значит обратные операторы ограниченные и L(X) состоит из ограниченных.

(11 Апр 16:45) akagus3000
1

@akagus3000, не значит. Даже если исходный оператор ограничен, обратный таким не обязан быть, поэтому это должно чётко оговариваться.

(11 Апр 17:15) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
1

Возьмём произвольное $%\varepsilon>0$% и по нему подберём $%\delta=\min\left\{\dfrac{1}{\|A^{-1}\|}, \dfrac{\varepsilon}{\|A^{-1}\|^2+\varepsilon\|A^{-1}\|}\right\}$%, тогда для всякого $%B$% со свойством $%\|B-A\|<\delta$% имеем, $%B=A+(B-A)=A(I+A^{-1}(B-A))$%. Поскольку $%\|A^{-1}(B-A)\|<\delta\|A^{-1}\|<1$%, то оператор $%I+A^{-1}(B-A)$% имеет ограниченный обратный, который равен $%\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n(A^{-1}(B-A))^n$%. Но тогда и $%B$% имеет ограниченный обратный, поскольку $%B^{-1}=(I+A^{-1}(B-A))^{-1}A^{-1}$%, т.е. $%B\in G$%. Далее осталось провести оценки:$$\|f(B)-f(A)\|=\|B^{-1}-A^{-1}\|\le\|A^{-1}\|\cdot\|(I+A^{-1}(B-A))^{-1}-I\|=$$$$=\|A^{-1}\|\cdot\left\|\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n(A^{-1}(B-A))^n\right\|<\|A^{-1}\|\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty\|A^{-1}\|^n\delta^n=\dfrac{\|A^{-1}\|^2\delta}{1-\|A^{-1}\|\delta}\le\varepsilon.$$ Таким образом, $%f$% непрерывна в точке $%A\in G$%.

ссылка

отвечен 11 Апр 17:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×898

задан
11 Апр 16:35

показан
79 раз

обновлен
11 Апр 17:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru