функциональный-анализ - Обратные операторы

Возьмём произвольное $%\varepsilon>0$% и по нему подберём $%\delta=\min\left\{\dfrac{1}{\|A^{-1}\|}, \dfrac{\varepsilon}{\|A^{-1}\|^2+\varepsilon\|A^{-1}\|}\right\}$%, тогда для всякого $%B$% со свойством $%\|B-A\|<\delta$% имеем, $%B=A+(B-A)=A(I+A^{-1}(B-A))$%. Поскольку $%\|A^{-1}(B-A)\|<\delta\|A^{-1}\|<1$%, то оператор $%I+A^{-1}(B-A)$% имеет ограниченный обратный, который равен $%\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n(A^{-1}(B-A))^n$%. Но тогда и $%B$% имеет ограниченный обратный, поскольку $%B^{-1}=(I+A^{-1}(B-A))^{-1}A^{-1}$%, т.е. $%B\in G$%. Далее осталось провести оценки:$$\|f(B)-f(A)\|=\|B^{-1}-A^{-1}\|\le\|A^{-1}\|\cdot\|(I+A^{-1}(B-A))^{-1}-I\|=$$$$=\|A^{-1}\|\cdot\left\|\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n(A^{-1}(B-A))^n\right\|<\|A^{-1}\|\cdot\sum\limits_{n=1}^\infty\|A^{-1}\|^n\delta^n=\dfrac{\|A^{-1}\|^2\delta}{1-\|A^{-1}\|\delta}\le\varepsilon.$$ Таким образом, $%f$% непрерывна в точке $%A\in G$%.