Нестандартное уравнение

Прибавим к обеим частям $%x^2-5x+4$%. Получится $%(x^2-5x+4)^2-6(x^2-5x+4)+4=x^2-6x+4$%. Теперь прибавим к обеим частям $%5$%, получая там и там полные квадраты: $%(x^2-5x+4)^2-6(x^2-5x+4)+9=x^2-6x+9$%, то есть $%(x^2-5x+1)^2=(x-3)^2$%. Это даёт разложение на множители $%(x^2-4x-2)(x^2-6x+4)=0$%, и остаётся решить два квадратных уравнения. Заметим, что рациональных корней тут нет, и искать их подбором было бы делом безуспешным.

Возникает один вопрос: как додуматься, что надо было сделать именно это? В принципе, есть такой общий метод Феррари для решения уравнений 4-й степени, и он описан в вузовских учебниках алгебры. Если использовать его идею, то таким способом задача решается. Представление уравнения в виде разности квадратов возможно всегда, и если знать сам этот факт, то результат можно найти подбором.

В данном случае можно было начать с того, чтобы попробовать сменить коэффициент $%-7$% на что-то другое, прибавив туда и сюда $%k(x^2-5x+4)$%, а потом дополнить до квадрата. Далее коэффициент $%k$% подбирается так, чтобы справа получился квадрат чего-то, а это равносильно обращению дискриминанта в ноль. Из такого уравнения можно найти значение коэффициента, который в данном случае был равен единице.