векторы - Сложение векторов

В принципе, есть готовая формула для нахождения проекции, но её помнить не обязательно -- достаточно уметь выводить. Пусть даны два ненулевых вектора $%\vec{x}$% и $%\vec{y}$%. Надо найти проекцию первого вектора на второй. Понятно, что получится вектор, пропорциональный вектору $%\vec{y}$%, но каков коэффициент пропорциональности? Прежде всего, разделим вектор $%\vec{y}$% на его длину, получая единичный (по длине) вектор того же направления, что и $%\vec{y}$%. Он равен $%\frac{\vec{y}}{|\vec{y}|}$%, где знак модуля обозначает длину.

Обозначим через $%\varphi$% угол между векторами $%\vec{x}$% и $%\vec{y}$%. Он может принимать значения от 0 до 180 градусов (включительно). Рассмотрим сначала случай, когда этот угол острый. Спроектируем вектор $%\vec{x}$% перпендикулярно на ось вектора $%\vec{y}$%, и тогда по формулам школьной тригонометрии будет ясно, что длина проекции равна длине вектора $%\vec{x}$%, умноженной на косинус угла. Эту длину теперь надо умножить на единичный вектор оси проекции, и получится $%\frac{|\vec{x}|\cos\varphi}{|\vec{y}|}\vec{y}$%. Это равенство будет верно и для прямого угла (проекцией её является нулевой вектор), и для тупого -- когда косинус отрицателен, и проекция "смотрит" в другую сторону.

Теперь, вспоминая определение скалярного произведения, слегка преобразуем формулу, домножая числитель и знаменатель дроби (коэффициента) на длину вектора $%\vec{y}$%. В числителе возникнет скалярное произведение векторов $%\vec{x}$% и $%\vec{y}$%, а в знаменателе будет квадрат длины вектора $%\vec{y}$%, записываемый как скалярный квадрат. Результат получается такой: $$\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\vec{y}\cdot\vec{y}}\vec{y}.$$ В числителе и знаменателе стоят числа, то есть дробь даёт нам коэффициент при векторе $%y$%.

В Вашем случае получатся скалярные произведения векторов, которые после раскрытия скобок (по обычным алгебраическим правилам, как для чисел) выражаются через скалярные произведения векторов $%\vec{a}$% и $%\vec{b}$% на себя, а также друг на друга. Мы знаем то и другое, так как скалярные квадраты суть квадраты длин, а скалярное произведение $%\vec{a}$% на $%\vec{b}$% выражается через известный нам косинус угла.

Можно чуть упростить задачу, находя только проекцию $%\vec{q}$% и $%\vec{p}$%. Операция проектирования линейна, то есть проекция суммы равна сумме проекций. Проекция же первого слагаемого $%3\vec{p}$% на $%\vec{p}$%, очевидно, равна $%3\vec{p}$%.