пусть вектор P=2a-b , а вектор q=2a-b ,модуль вектора [a]=1, [b]=4, угол (a,b)=120 градусов, найти проекцию вектора 3p+q на вектор p.

задан 7 Ноя '13 12:52

Ответом должен быть вектор, а не скаляр.

(7 Ноя '13 13:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

В принципе, есть готовая формула для нахождения проекции, но её помнить не обязательно -- достаточно уметь выводить. Пусть даны два ненулевых вектора $%\vec{x}$% и $%\vec{y}$%. Надо найти проекцию первого вектора на второй. Понятно, что получится вектор, пропорциональный вектору $%\vec{y}$%, но каков коэффициент пропорциональности? Прежде всего, разделим вектор $%\vec{y}$% на его длину, получая единичный (по длине) вектор того же направления, что и $%\vec{y}$%. Он равен $%\frac{\vec{y}}{|\vec{y}|}$%, где знак модуля обозначает длину.

Обозначим через $%\varphi$% угол между векторами $%\vec{x}$% и $%\vec{y}$%. Он может принимать значения от 0 до 180 градусов (включительно). Рассмотрим сначала случай, когда этот угол острый. Спроектируем вектор $%\vec{x}$% перпендикулярно на ось вектора $%\vec{y}$%, и тогда по формулам школьной тригонометрии будет ясно, что длина проекции равна длине вектора $%\vec{x}$%, умноженной на косинус угла. Эту длину теперь надо умножить на единичный вектор оси проекции, и получится $%\frac{|\vec{x}|\cos\varphi}{|\vec{y}|}\vec{y}$%. Это равенство будет верно и для прямого угла (проекцией её является нулевой вектор), и для тупого -- когда косинус отрицателен, и проекция "смотрит" в другую сторону.

Теперь, вспоминая определение скалярного произведения, слегка преобразуем формулу, домножая числитель и знаменатель дроби (коэффициента) на длину вектора $%\vec{y}$%. В числителе возникнет скалярное произведение векторов $%\vec{x}$% и $%\vec{y}$%, а в знаменателе будет квадрат длины вектора $%\vec{y}$%, записываемый как скалярный квадрат. Результат получается такой: $$\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\vec{y}\cdot\vec{y}}\vec{y}.$$ В числителе и знаменателе стоят числа, то есть дробь даёт нам коэффициент при векторе $%y$%.

В Вашем случае получатся скалярные произведения векторов, которые после раскрытия скобок (по обычным алгебраическим правилам, как для чисел) выражаются через скалярные произведения векторов $%\vec{a}$% и $%\vec{b}$% на себя, а также друг на друга. Мы знаем то и другое, так как скалярные квадраты суть квадраты длин, а скалярное произведение $%\vec{a}$% на $%\vec{b}$% выражается через известный нам косинус угла.

Можно чуть упростить задачу, находя только проекцию $%\vec{q}$% и $%\vec{p}$%. Операция проектирования линейна, то есть проекция суммы равна сумме проекций. Проекция же первого слагаемого $%3\vec{p}$% на $%\vec{p}$%, очевидно, равна $%3\vec{p}$%.

ссылка

отвечен 7 Ноя '13 13:54

будет 4p или 16*(2^1/2) как ответ записать?

(7 Ноя '13 16:02) рикитир

@рикитир: второе вообще не может быть, как я сказал выше. Должен получиться вектор, а не скаляр. Ответ $%4\vec{p}$% теоретически возможен, но думаю, это всё-таки не он. Если покажете свои вычисления, можно будет обсудить.

(7 Ноя '13 19:13) falcao

@falcao, Должен получиться вектор, а не скаляр - в учебниках часто под проекцией называют длину вектор-проекции... обозначают так - $%\text{Пр}_{\bar{y}}\;\bar{x}$%... а формула вычисления напрямую следует из Ваших рассуждений...

(8 Ноя '13 0:07) all_exist

@all_exist: да, бывает иногда, что допускают "вольность речи", но лучше всё-таки от этого воздерживаться. Это и для физики удобнее. В данном же случае задача стандартного типа, и там именно вектор надо в ответе указывать.

(8 Ноя '13 0:12) falcao

@falcao, В данном же случае задача стандартного типа, и там именно вектор надо в ответе указывать - нахождение именно числовой проекции более стандартно для учебных заданий, в случае такого задания векторов...

(8 Ноя '13 0:19) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×184

задан
7 Ноя '13 12:52

показан
1645 раз

обновлен
8 Ноя '13 0:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru