Есть равносторонний треугольник, внутри него где-то отмечена точка так, что расстояния до вершин треугольника равны 1, 2 и 3. Нужно найти сторону треугольника. Нужна идея решения. Спасибо!

UPD: точка может быть как внутри, так и вне треугольника.

задан 7 Ноя '13 19:21

изменен 10 Ноя '13 19:52

1

По-моему, вопрос вполне заслуживает рассмотрения, и отрицательный результат -- тоже результат. И вообще, было бы интересно описать необходимые и достаточные условия, чтобы внутри некоторого равностороннего треугольника нашлась точка, расстояния от которой до вершин равны заданным числам.

Если не требовать нахождения точки внутри, то такая конструкция возможна. И там получается, если не путаю, ответ $%\sqrt7$%.

(7 Ноя '13 20:31) falcao

Да, методом координат такое получается.

(10 Ноя '13 19:51) student
10|600 символов нужно символов осталось
0

Итак, получилось, что точка лежит вне треугольника, поэтому введем систему координат следующим образом: "поставим" треугольник каким-либо основанием на ось x, и для удобства одна из вершин послужит началом координат. Обозначим сторону треугольника за $%a$%, а отмеченной точке установим координаты $%(x;y)$%. Выразим три расстояния между точкой $%(x;y)$% и вершинами треугольника (их координаты нам известны через $%a$%) и решим систему уравнений.

ссылка

отвечен 18 Ноя '13 21:44

изменен 18 Ноя '13 21:44

1

Да, координатным методом всё в принципе решается, и там за счёт рассмотрения разностей квадратов следствия уравнений оказываются не слишком сложными. Точка плоскости с нужными свойствами единственна, она лежит вне треугольника, и сторона треугольника равна $%\sqrt7$%.

Здесь ещё можно вспомнить такой факт, который в чём-то может быть полезен. Если описать окружность вокруг правильного треугольника и взять на ней любую точку, то расстояние от неё до одной из вершин будет равно сумме расстояний до двух других вершин.

(18 Ноя '13 23:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Моя идея такая: Сторона треугольника - х, площадь равностороннего треугольника легко находится. Площадь каждого из образовавшихся треугольников по формуле Герона, потом их сложить и приравнять к площади равностороннего треугольника. Отсюда найдется икс. Приравнивать лучше квадраты площадей. Вычисления нестрашные, как может показаться по описанию

ссылка

отвечен 7 Ноя '13 19:39

изменен 7 Ноя '13 19:40

Если точка вне треугольника (как впоследствии оказалось) - очевидно, не получается.

(11 Ноя '13 21:42) student
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
7 Ноя '13 19:21

показан
1199 раз

обновлен
19 Ноя '13 7:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru