планиметрия - Найдите все возможные значения угла

У меня первоначально было тригонометрическое решение. Я все длины выражал через углы, применяя теорему синусов. В результате возникало уравнение $$\sin2\alpha-\sin\alpha+\cos\alpha-\cos2\alpha=1,$$ где $%\alpha$% -- угол при основании. С учётом того, что это острый угол, получалось два решения: $%\alpha=\pi/4$% и $%\alpha=\pi/3$%.

Проанализировав ещё раз это решение, я обнаружил одну особенность длин отрезков, которые возникали в процессе, что натолкнуло меня на следующее решение уже без использования тригонометрии.

Обозначим через $%O$% точку пересечения биссектрис треугольника $%ABC$%. Проведём через точку $%K$% прямую, перпендикулярную $%CO$%. Пусть она пересекает стороны $%AC$% и $%BC$% в точках $%M$% и $%N$% соответственно.

Основное наблюдение связано со следующим фактом: $%KO=KN=KM$%. Это верно без предположения о величине угла $%BEK$% и может быть установлено так. Рассмотрим прямоугольный треугольник $%OCD$%. Построим окружность с диаметром $%ON$%. На ней лежат точки $%K$% и $%D$%, так как соответствующие углы -- прямые. Обратим внимание на то, что возможен случай $%D=N$%, когда угол $%ODN$% как таковой не возникает, но в этом случае $%D$% лежит на окружности по определению.

Из того факта, что $%DK$% -- биссектриса прямого угла, а также из свойств вписанных углов следует, что угол $%ONK$% равен $%45$% градусам. Поэтому $%ONK$% -- равнобедренный прямоугольный, и $%KO=KN$%. Равенство $%KN=KM$% следует из соображений симметрии, или из равенства треугольников.

Теперь рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $%OMK$%. Описываем около него окружность, приходя к выводу, что на ней лежит точка $%E$%. Здесь уже используется то, что углы $%OEK$% (то же, что $%BEK$%) и $%OMK$% равны $%45$% градусам.

Поскольку $%OM$% -- диаметр окружности, угол $%OEM$% является прямым, либо $%M=E$%. В первом случае $%BE$% оказывается биссектрисой и высотой, а треугольник $%ABC$% правильным, то есть $%CAB$% равен $%60$% градусам.

Во втором случае угол $%EOC$% оказывается равен $%45$% градусам, но он является внешним углом равнобедренного треугольника $%BOC$% при вершине, то есть он равен сумме двух его углов при основании. Ввиду того, что $%BO$% и $%CO$% -- биссектрисы, углы при основании треугольника $%ABC$% в сумме дают вдвое больше, и угол $%CAB$% -- прямой.

Легко проверить, что в обоих случаях величина угла $%BEK$% будет такой, как нужно.