2
1

Прямоугольный параллелепипед 15×33×55, разбитый на 27225 единичных кубиков, проткнули иглой по его диагонали. Сколько единичных кубиков протыкает игла?

задан 8 Ноя '13 9:35

изменен 8 Ноя '13 22:14

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
4

Большую диагональ пересекают координатные плоскости, и каждая делит её на части. Параллельные плоскости $%x=0$%, $%x=1$%, ... , $%x=15$% делят диагональ на $%15$% равных частей. По другим координатам происходит деление на $%33$% и $%55$% равных частей соответственно. Поэтому можно отдельно нарисовать диагональ в виде отрезка (произвольной длины), разбивая его тремя способами. Точки разбиения могут быть общими. Если мы подсчитаем количество внутренних точек разбиения, то число отрезков будет на единицу больше, и каждый такой отрезок соответствует протыканию одного из кубиков. То есть трёхмерная задача сводится к одномерной.

Возьмём тогда отрезок $%[0;27225]$% и разобьём его на $%15$% равных частей, потом на $%33$% части, и на $%55$% частей. Крайнюю справа точку будем тоже считать точкой разбиения -- чтобы не прибавлять в конце единицу. А число $%0$% не будем. В первую "порцию" (разбиение на $%15$% частей) тогда попадут все натуральные числа, кратные $%27225/15$%, то есть $%33\cdot55$%. Они образуют множество $%A$%, в котором $%15$% элементов. Мы будем писать $%|A|=15$%. Аналогично введём множества $%B$% и $%C$%, где $%|B|=33$%, $%|C|=55$%. Множество $%B$% состоит из натуральных чисел от $%1$% до $%27225$%, кратных $%15\cdot55$%, а в $%C$% входят числа, кратные $%15\cdot33$%.

Нас интересует количество точек в объединении трёх множеств, и оно находится по известной формуле включений и исключений: $$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|.$$ В виде "произведения" традиционно для таких ситуаций обозначено пересечение.

В пересечение $%AB$% попадут числа, кратные как $%33\cdot55$%, так и $%15\cdot55$%. Это в точности числа, кратные произведению чисел $%{\mathop{\rm НОК}}(33,15)=11\cdot15=165$% и $%55$%, и поэтому $%|AB|=3$%. Здесь нетрудно заметить, что $%3$% возникает как $%{\mathop{\rm НОД}}(33,15)$%. Аналогично, $%|AC|=5$%, $%|BC|=11$%. Наконец, в $%ABC$% войдут все числа, кратные $%15\cdot33$%, $%15\cdot55$% и $%33\cdot55$%. Если $%n\in ABC$%, то $%n$% делится на $%{\mathop{\rm НОК}}(15,33,55)=3^2\cdot5^2\cdot11^2$%. Но это само число $%27225$%, откуда $%|ABC|=1$%.

Подставляя полученные значения в формулу, получаем $%85$%.

ссылка

отвечен 8 Ноя '13 10:57

изменен 9 Фев '14 14:39

что то не понятно Большую диагональ пересекают координатные плоскости, и каждая делит её на части. Параллельные плоскости x=0, x=1, x=15 делят диагональ на 15 равных частей.

(9 Фев '14 14:15) parol

@parol: да, всё так и есть. Плоскости вида x=0, x=1, ..., x=15 делят отрезок на 15 частей. Помимо них есть плоскости y=0, y=1, ... , которые делят его же на 33 части, а также z=0, z=1, ... . Получается задача об отрезке, который поделили на части несколькими способами, и надо понять, сколько всего таких частей. Основной момент связан с осознанием того, когда точки одного из разбиений совпадут с точками другого разбиения.

(9 Фев '14 14:21) falcao

Мне казалось, там было многоточие. Я либо опечатался, либо оно куда-то исчезло. Сейчас я его вставлю.

(9 Фев '14 14:38) falcao

и можно уточнить что вы подразумеваете под словом Внутренние точки

(9 Фев '14 18:06) parol

@parol: внутренней точкой отрезка называется любая его точка кроме концов.

(9 Фев '14 19:41) falcao

Ваша идея в целом ясна , а интересно почему именно отрезок [0;27225] берете

(9 Фев '14 22:23) parol

Просто потому, что так удобнее считать. Можно было бы с таким же успехом взять отрезок любой длины -- например, единичный. Но тогда точки разбиения имели бы дробные координаты. Для того, чтобы было удобнее следить, здесь берётся такой отрезок, чтобы точки разбиения были целыми. Для этого достаточно перемножить три измерения параллелепипеда.

(10 Фев '14 1:56) falcao

Мне учитель сказал что решение верное . Но у меня все равно возникает вопрос, то есть в число тех кубиков которая диагональ протыкает, есть пересечение разбиений (всех троих)?

(12 Фев '14 13:25) parol

Мне учитель сказал что решение верное . Но у меня все равно возникает вопрос, то есть в число тех кубиков которая диагональ протыкает, есть пересечение разбиений (всех троих)?

(12 Фев '14 18:06) parol

Задача в самом начале должна быть сведена к задаче об отрезке, после чего о стереометрии и прочем можно забыть. Ведь если игла протыкает кубик по отрезку, то концам этого отрезка соответствуют точки разбиения, которые мы детально исследуем. Вы, судя по всему, спрашиваете о том, чему соответствуют "тройные" точки, то есть когда все плоскости сошлись вместе. Это будут такие ситуации, когда игла прошла через единичный кубик, войдя или выйдя в одной из его вершин. Это явление само по себе ничем не примечательно.

(12 Фев '14 18:16) falcao

То есть по сути, правильно понимать что |AB| |BC| |AC| это есть те пересечения кубика при котором диагональ пересекает только две грани

(12 Фев '14 18:55) parol

Я не понимаю, что означает |AB| |BC| |AC|.

(12 Фев '14 19:24) falcao

у вас в формуле так написано где формула исключения и включения

(12 Фев '14 19:31) parol

Да, слагаемому |AB| соответствуют такие случаи, когда диагональ пересекается плоскостями двух типов (x=const, y=const). Это случай прохождения диагонали через вертикальное ребро одного из кубиков. Но я не понимаю, зачем нужна эта детализация? Что Вы хотите при этом понять или исследовать?

(12 Фев '14 20:04) falcao

просто я как бы для себя вывел "типы пересечения" , как то просто по логике должно все суммироваться, |A|+|B|+|C|+|AB|... у меня но что то не то

(12 Фев '14 22:02) parol
показано 5 из 15 показать еще 10
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×960

задан
8 Ноя '13 9:35

показан
2787 раз

обновлен
12 Фев '14 22:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru