алгебра - Решить тригонометрические уравнения

Во втором условии есть опечатка: там у тангенса в числителе пропущено $%x$%.

Обе задачи связаны с некоторыми вычислениями. Я их подробно приводить не буду, ограничившись описанием общей схемы.

1) Второй сомножитель $%32\sin x-17\cos2x-14$% выражается через синус, с учётом формулы косинуса двойного угла. Получается $%34t^2+32t-31$%, где $%t=\sin x$%. Эту функцию надо исследовать на экстремум на отрезке $%[-1;1]$%. Наибольшее значение там принимается в точке $%x=1$%, а наименьшее -- в вершине параболы, то есть при $%t=-8/17$%. Вычисления показывают, что функция изменяется в пределах от $%-655/17$% до $%35$%. Модуль первого из чисел больше (это дальше понадобится).

Теперь рассмотрим первый сомножитель. Его можно представить в виде $%17\left(\cos x\cdot\frac{15}{17}+\sin x\cdot\frac8{17}\right)$%. Множитель ($%17$% здесь был выбран из тех соображений, что $%15^2+8^2=17^2$%.) При этом сумма квадратов чисел $%15/17$% и $%8/17$% равна единице, и точка с координатами $%(15/17;8/17)$% лежит на единичной окружности. Поэтому имеется такой угол, для которого косинус и синус равны соответственно первой и второй координате. Пусть $%\cos x_0=15/17$% и $%\sin x_0=8/17$%. Тогда первый сомножитель принимает вид $%17(\cos x\cos x_0+\sin x\sin x_0)=17\cos(x-x_0)$%. Из этого представления видно, что первый сомножитель меняется от $%-17$% до $%17$%.

Подведём итоги: модуль первого сомножителя не превосходит $%17$%; модуль второго сомножителя не превосходит $%655/17$%. Следовательно, модуль произведения не больше $%655$% (числа в правой части), причём равенство возможно только при $%t=\sin x=-8/17$%, а первый сомножитель должен быть равен $%-17$%. Это значит, что $%\cos x=-15/17$%.

Теперь ответ выражается через обратные тригонометрические функции. Получается $%x=\arcsin(8/17)+(2k+1)\pi$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%.

2) Если $%x$% -- второго уравнения, то легко заметить, что $%\sin x\ne0$%. Поделив на синус, имеем $$\frac4{\cos^2x}=17+\frac6{{\mathop{\rm tg\ }}x}.$$ Обозначая тангенс через $%t$% и пользуясь тождеством $$\frac1{\cos^2x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}=t^2+1,$$ приходтим к уравнению $%4(t^2+1)=17+6/t$%. То есть надо решить кубическое уравнение $%4t^3-13t-6=0$%. Корень $%t=2$% находится подбором, и после деления на $%t-2$% возникает квадратное уравнение $%4t^2+8t+3=0$%. Оно имеет корни $%t=-3/2$% и $%t=-1/2$%. Осталось выразить $%x$% через арктангенсы чисел $%2$%, $%-3/2$%, $%-1/2$% с периодом $%\pi$%.