Есть набор из n примитивных многочленов вида (kx+b). Как, зная все коэффициенты k и b, получить коэффициенты a полинома, полученного из перемножения этих многочленов?

задан 8 Ноя '13 15:38

10|600 символов нужно символов осталось
0

для каждой степени j построить $$C_n^j$$ слагаемых данной степени из общего результата перемножения примитивных многочленов. Затем все полученные для данной степени коэффициенты сложить. Погуглите "алгоритм сочетаний с повторениями".

ссылка

отвечен 8 Ноя '13 15:51

10|600 символов нужно символов осталось
0

Я так понимаю, для разных сомножителей коэффициенты считаются разными. В противном случае есть биномиальная формула, по которой вычисляется $%(kx+b)^n$%.

В общем случае ответ фактически даётся теоремой Виета (для многочлена $%n$%-й степени). Прежде всего, коэффициенты можно вынести, и тогда перемножаются двучлены вида $%x+c_i$%, где $%c_i=b_i/k_i$%. Достаточно знать коэффициенты для случая произведения $$f(x)=(x+c_1)(x+c_2)\ldots(x+c_n),$$ домножая их в конце на произведение $%k_1k_2\ldots k_n$%.

У $%f(x)$% после раскрытия скобок получается многочлен $%n$%-й степени $$x^n+d_1x^{n-1}+d_2x^{n-2}+\cdots+d_{n-1}x+d_n,$$ где $%d_1=c_1+c_2+\cdots+c_n$%, $%d_2=c_1c_2+c_1c_3+\cdots+c_{n-1}c_n$% (сумма всех попарных произведений), $%d_3=c_1c_2c_3+c_1c_2c_4+\cdots+c_{n-2}c_{n-1}c_n$% (тройные произведения) и так далее; $%d_n=c_1c_2\ldots c_n$%.

Иными словами, коэффициент $%d_m$% ($%1\le m\le n$%) равен сумме всевозможных произведений вида $%c_{i_1}c_{i_2}\ldots c_{i_m}$%, где $%1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_m\le n$%. Количество слагаемых в этой сумме равно $%C_n^m$%.

ссылка

отвечен 8 Ноя '13 16:46

спасибо, этот вариант подходит

(8 Ноя '13 17:41) ivvan2009

Иными словами получили следствие формул Виета...

(8 Ноя '13 17:55) all_exist

@all_exist: да, я там про Виета и сказал. Такой вариант с плюсами более удобен, то есть не было смысла в те формулы подставлять минусы, чтобы снова получились плюсы.

(8 Ноя '13 17:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,867
×325
×29

задан
8 Ноя '13 15:38

показан
894 раза

обновлен
8 Ноя '13 17:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru