1. Расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда и не пересекающей ее диагональю основания равно L, а диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Плоскость, проходящая через диагональ параллелепипеда и параллельная диагонали основания, образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью.

задан 9 Ноя '13 22:05

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

В качестве диагонали параллелепипеда рассматриваем $%D_1B$% , а диагональю основания будет $%AC.$% Проведем отрезок $%MO$%-серединная линия тругольника $%D_1DB. OM||BD_1\Rightarrow (AMC)||BD_1.$% Расстояние $%BD_1$% от $%AC$% равно расстоянию $%BD_1$% от плоскости $% AMC. D_1M=DM\Rightarrow $% точки $%D$% и $%D_1$% равноудалены от плоскости $% AMC.$% Значит расстояние точки $% D $% от плоскости $% AMC $% равно $% L.$%

Пусть $%DH\perp AC,$% тогда по теореме о трех перпендикулярах $%MH\perp AC \Rightarrow AC\perp (MHD)\Rightarrow (AMC)\perp(MHD), (AMC)\cap(MHD)=MH.$% И так перпендикуляр $%DQ\perp MH$% и есть расстояние от $% D$% до плоскости $% AMC $%, значит $% DQ=L. $%

Пусть отрезок $%EF||AC, $% и проходит через серединную точку $%N$% ортезка $% BD_1 (E\in AA_1,F \in CC_1).$%

$%D_1EBF-$% искомое сечение. $%(D_1EBF)\cap (ABC)=l, (B \in l). EF|| AC\Rightarrow EF||l ||AC.$% $%DH\cap l=P, DP\perp l$% по теореме о трех перпендикулярах $%D_1P \perp l, \angle D_1PD=\angle MHD=60^0, \angle MOD=\angle D_1BD=30^0.$%

В прямоугольном треугольнике $%DQH, DH=\frac{DQ}{sin60^0}=\frac{2L}{\sqrt3}$%

В прямоугольном треугольнике $%DMH, MD=DHtg60^0=2L$%

В прямоугольном треугольнике $%MDO, OD=DM ctg30^0=2L\sqrt3\Rightarrow BD=4L\sqrt3$%

В прямоугольном треугольнике $%DOH, sin\angle DOH=\frac{DH}{DO}=\frac13$%

$%S_{D_1EBF}=\frac{S_{pr}}{cos60^0}=\frac{S_{ABCD}}{\frac12}=\frac12 {BD^2}sin \angle DOA\cdot 2=16L^2$%

ссылка

отвечен 10 Ноя '13 0:36

изменен 10 Ноя '13 1:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%ABCD$% -- нижнее основание, $%A_1B_1C_1D_1$% -- верхнее. В качестве диагонали параллелепипеда рассматриваем $%AC_1$%, а диагональю основания будет $%BD$%. Через точку $%A$% проведём прямую, параллельную $%BD$% до её пересечения с $%BC$% в точке $%B_2$% и c $%DC$% в точке $%D_2$%. (Можно сделать отдельный рисунок в плоскости основания.) Очевидно, что $%B_2B=BC$%, $%D_2D=DC$%.

Теперь соединим $%B_2$% и $%D_2$% с точкой $%C_1$% в соответствующих гранях. Пересечение прямой $%B_2C_1$% с ребром $%BB_1$% обозначим через $%B_3$%, а пересечение $%D_2C_1$% с ребром $%DD_1$% -- через $%D_3$%. Легко видеть, что точки пересечения будут серединами рёбер, и параллелограмм $%AB_3C_1D_3$% есть искомое сечение.

Заметим, что плоскость сечения образует угол $%60^{\circ}$% с плоскостью основания, а перпендикулярная проекция сечения на эту плоскость совпадает с основанием. Поэтому площадь сечения равна площади основания делённой на $%\cos60^{\circ}=1/2$%. Достаточно теперь найти площадь основания и умножить её на два, получая площадь сечения.

Опустим из точки $%B$% в плоскости основания перпендикуляр с основанием $%B'$% на прямую $%B_2D_2$%. Поскольку отрезок $%B_3B$% перпендикулярен плоскости основания, он будет перпендикулярен прямой $%B_2D_2$%, и ей же перпендикулярен отрезок $%BB'$%. Значит, прямая $%B_2D_2$% перпендикулярна плоскости $%BB'B_3$%. То есть мы получили перпендикулярное сечение двугранного угла между плоскостями, и по условию угол $%BB'B_3$% равен $%60$% градусам. (Для этого треугольника также полезно сделать отдельный чертёж.) Если мы теперь опустим высоту $%BH$% из точки $%B$% в этом треугольнике, то окажется, что расстояние $%BH$% равно $%L$%. Действительно, $%BH$% перпендикулярна прямой $%B'B_3$%, а также прямой $%AB'$%, то есть перпендикулярна плоскости сечения, и поэтому $%H$% есть перпендикулярная проекция точки $%B$% на плоскость сечения. При этом точка $%B$% принадлежит диагонали основания, параллельной плоскости сечения. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми, равное $%L$%, как раз и есть расстояние от $%B$% до плоскости сечения.

Теперь найдём все интересующие нас расстояния из треугольника $%BB'B_3$%. Ясно, что $%BB_3=2L$%, откуда боковое ребро параллелепипеда равно $%4L$%, а диагональ основания равна $%4L{\mathop{\,\rm ctg\ }}30^{\circ}=4\sqrt3L$%. Также из треугольника $%BB'B_3$% видно, что $%BB'=2L/\sqrt3$%, но эта длина равна расстоянию от $%A$% до $%BD$%. Из этих соображений, площадь прямоугольника $%ABCD$% равна $%BD\cdot BB'=4\sqrt3L\cdot 2L/\sqrt3=8L^2$%. Площадь сечения вдвое больше, то есть она равна $%16L^2$%.

ссылка

отвечен 10 Ноя '13 1:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,022

задан
9 Ноя '13 22:05

показан
1055 раз

обновлен
10 Ноя '13 1:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru