Доброго времени суток, форумчане!
У меня возник вопрос по поводу одной задачи.
Есть 2 политические партии, каждая из которых хочет победить на выборах, т.е. максимизировать количество голосов на выборах.
Для простоты считаем, что идеология, которую может иметь избиратель, отождествляется с одной из 8 точек на прямой. Допустим, что всего 8n избирателей и в каждой точке находятся n избирателей.
Обе партии одновременно выбирают точку на отрезке и не могут ее впоследствии менять. Избиратель отдает свой голос той партии, к которой он ближе расположен.
Вопрос: Какую точку следует выбрать партиям? alt text


Я решил для начала выписать матрицу игры. Вот что получилось:
\begin{bmatrix}8,8 & 2,14 & 3,13 & 4,12 & 5,11 & 6,10 & 7, 9 & 8,8 \\ 14,2 & 8,8 & 4,12 & 5,11 & 6,10 & 7,9 & 8,8 & 9,7 \\ 13,3 & 12,4 & 8,8 & 6,10 & 9,7 & 8,8 & 9,7 & 10,6 \\ 12,4 & 11,5 & 10,6 & 8,8 & 8,8 & 9,7 & 10,6 & 11,5 \\ 11,5 & 10,6 & 9,7 & 8,8 & 8,8 & 10,6 & 11,5 & 12,4 \\ 10,6 & 9,7 & 8,8 & 7,9 & 6,10 & 8,8 & 12,4 & 13,3 \\9,7 & 8,8 & 7,9 & 6,10 & 5,11 & 4,12 & 8,8 & 14,2 \\ 8,8 & 7,9, & 6,10 & 5,11 & 4,12 & 3,13 & 2,14 & 8,8\end{bmatrix} Домножил все значения на 2, чтобы дробных не было. В матрице каждый элемент - это пара. Первый элемент - выигрыш первого, второй - второго.
Поиск максимально элемента в столбце по первому числу в паре и максимального элемента в строке по второму числу привел к следующему: \begin{bmatrix}8,8 & 2,(14) & 3,13 & 4,12 & 5,11 & 6,10 & 7, 9 & 8,8 \\ (14),2 & 8,8 & 4,(12) & 5,11 & 6,10 & 7,9 & 8,8 & 9,7 \\ 13,3 & (12),4 & 8,8 & 6,(10) & 9,7 & 8,8 & 9,7 & 10,6 \\ 12,4 & 11,5 & (10),6 & (8),(8) & (8),(8) & 9,7 & 10,6 & 11,5 \\ 11,5 & 10,6 & 9,7 & (8),(8) & (8),(8) & (10),6 & 11,5 & 12,4 \\ 10,6 & 9,7 & 8,8 & 7,9 & 6,(10) & 8,8 & (12),4 & 13,3 \\9,7 & 8,8 & 7,9 & 6,10 & 5,11 & 4,(12) & 8,8 & (14),2 \\ 8,8 & 7,9, & 6,10 & 5,11 & 4,12 & 3,13 & 2,(14) & 8,8\end{bmatrix}
4 равновесия в центре таблицы Я не вижу в этой матрице доминирующих стратегий, которые можно было бы исключить. Как же тогда найти равновесие нэша?

задан 9 Ноя '13 23:39

изменен 10 Ноя '13 1:34

Хотелось бы уточнить кое-какие детали условия. Допустим, обе партии выбрали одно и то же. Верно ли, что тогда голоса избирателей просто разделятся поровну? Далее, если одна партия выбрала точку "коммунизм", а другая "либерализм", то верно ли, что половина социалистов проголосует за одну партию, а половина за другую? И ещё вопрос: как следует понимать пункт, что избиратели голосуют за ту партию, идеологию которой разделяют? Из дальнейшего вроде бы следует, что они голосуют за наиболее "близкую" идеологию, но не обязательно за свою.

(9 Ноя '13 23:53) falcao

1) Если две партии выбрали одно и тоже, то да, обе партии получат по 4n голосов.
2) Если первая партия выбрала "коммунизм", вторая "либерализм", то голоса социалистов поделятся поровну между партиями.
1) и 2) видно из матрицы игры.
3)"избиратели голосуют за ту партию, идеологию которой разделяют" - лишняя фраза, уберу, чтоб не мазолила глаза.

(9 Ноя '13 23:58) Stas0n

Не следует ли тогда из общих соображений, что выгоднее всего выбирать точку в середине, то есть с вероятностью 1/2 ставить на либералов или консерваторов? Обеим сторонами это гарантирует ничью, если другая сторона выберет то же самое. А если другая сторона выберет что-то другое, то она проиграет. Это вроде бы видно без анализа матриц.

(10 Ноя '13 0:17) falcao

Мне вот тоже так показалось. Перебор случаев, который осуществлялся путем анализа матричной игры, вроде бы это тоже подтверждает.
Однако, для меня не совсем было очевидным, что это единственные равновесия.

(10 Ноя '13 0:20) Stas0n

Я рассуждал здесь безо всякой теории, то есть "по-простому". Здесь наличествует симметрия, а также своего рода "монотонность", то есть всё оказывается просто.

(10 Ноя '13 0:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×81

задан
9 Ноя '13 23:39

показан
687 раз

обновлен
10 Ноя '13 1:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru