|
Трапеция ABCD с основаниями BC=6 и AD=7 вписана в окружность. Продолжение средней линии MN трапеции за точку M пересекает окружность в точке K. Найдите квадрат высоты трапеции,если MK=1. задан 10 Ноя '13 2:09 
Peron_god |
|
$%MN=(BC+AD)/2=6.5,KM=NL=1, ML=MN+NL=7.5 $% Согласно свойству пересекающихся хорд $%BM\cdot AM= KM \cdot ML \Rightarrow BM^2= KM \cdot ML \Rightarrow BM=\sqrt{ KM \cdot ML}=\sqrt{7.5},$% а $% AB=2BM=\sqrt{30}.$% Пусть $%BH\perp AD.$% Так-как вписанная в окружность трапеция равнобедренная, значит $%AH=\frac{AD-BC}2=\frac12$%. $%BH^2=AB^2-AH^2=30-\frac14=\frac{119}4=29.75$%
отвечен 10 Ноя '13 13:04 
ASailyan Спасибо большое!А можно вопрос:может ли основание AD лежать выше точки O?
(10 Ноя '13 13:56)
Peron_god
Это легко проверить . Найдите $%BD$%, и с помощю теоремы косинусов $%\cos {ABD},$% если $%\cos \angle {ABD}<0$%, то $%\angle {ABD}$% тупой, тогда центр описанной окружности находится вне треугольника $%ABD$%,это значит основание $%AD$% лежит выше точки $%O.$%
(10 Ноя '13 14:05)
ASailyan
@Multi_cast: если представить себе случай, когда основание $%AD$% лежит выше точки $%O$%, то длины хорд, от неё удаляющихся, становятся всё меньше и меньше: 7, ещё меньше, ..., 6. Но здесь есть более длинная хорда между ними. @ASailyan: у Вас в конце есть опечатка в знаменателе дроби.
(10 Ноя '13 17:51)
falcao
Спасибо. Отпечатки уже нет.
(10 Ноя '13 17:55)
ASailyan
|
|
Длина средней линии равна $%13/2$%. Если мы продолжим её ещё и за точку $%N$% до пересечения с окружностью в точке $%L$%, то окажется, что $%NL=1$% ввиду симметрии (трапеция равнобочная), и потому $%KL=17/2$%. Это самая длинная из трёх параллельных хорд: $%KL > AD > BC$%, поэтому центр окружности $%O$% ближе всего лежит к этой хорде. Отсюда следует, что центр лежит между хордами $%KL$% и $%AD$%. Обозначим расстояния от $%O$% до этих хорд через $%a$% и $%b$% соответственно. Тогда $%h=2(a+b)$% (высота трапеции), а расстояние от $%O$% до $%BC$% равно $%2a+b$%. Обозначая через $%R$% радиус окружности, составляем три уравнения, применяя теорему Пифагора: $%R^2-3^2=(2a+b)^2$%; $%R^2-(17/4)^2=a^2$%; $%R^2-(7/2)^2=b^2$%. Система легко решается, если из первого и из второго уравнения вычесть третье. Тогда нам станут известны величины $%a(a+b)$% и $%(b-a)(b+a)$%. Сложив одно и другое, найдём $%b(b+a)$%, а отсюда сразу находится $%(a+b)^2=a(a+b)^2+b(a+b)^2$%. Умножая на $%4$%, находим $%h^2$%. Всю систему можно при этом до конца не решать. Ответ при желании можно будет сверить. отвечен 10 Ноя '13 3:49 
falcao Спасибо большое!А можно вопрос:может ли основание AD лежать выше точки O?
(10 Ноя '13 13:56)
Peron_god
|
Как понять "Продолжение средней линии MN трапеции за точку M пересекает окружность в точке K"?
@ASailyan: это понятная фраза. Проводим прямую $%MN$%, рассматриваем то её продолжение, которое идёт за точку $%M$%, то есть часть луча $%NM$%. И это продолжение, то есть фактически луч, пересекает окружность в точке $%K$%.
@falcao ночью я почему то прочитала, что окружность вписана в трапецию и фраза о продолжении средней линии MN оказалась не понятной.
@ASailyan: да, знакомое явление. Я обычно совершаю над собой некоторое внутреннее усилие прежде чем пойму, что куда вписано и что около чего описано. Вроде бы термины привычные и стандартные, но они легко перетекают друг в друга, и нужно искусственно фиксировать внимание.