У великих людей даже ошибки поучительные. Я хочу собрать примеры того, как заблуждались великие ученые, которые разрабатывали новые разделы математики. Эти факты помогут показать, что склонность математиков к строгим формальным доказательствам - не следствие их занудства и педантизма, а насущная необходимость.
Если кто знает подобные факты - прошу поделиться! Что я уже знаю:

  1. Вот что написано в Википедии об О.Коши: Коши построил фундамент анализа на основе теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию, и его подход стал общепринятым; анализ стал менее алгебраичным, но более надёжным. Тем не менее до уточнений Вейерштрасса многие предрассудки ещё сохранялись: например, Коши верил, что непрерывная функция всегда дифференцируема, а сумма ряда из непрерывных функций непрерывна. (Помню, что в книге по истории математики читала про его ошибки в связи, кажется, с теорией рядов Фурье)
  2. Д'Аламбер считал, что вероятность выпадения двух решек при бросании двух монет равна 1/3. Обосновывал он это тем, что существует три исхода: Решка,Решка, Орел и Решка, два Орла.

Дополнение после первых ответов. Спасибо всем. Но, видимо, физики более склонны к ошибкам (или, точнее, их ошибки более известны). Хотелось бы все-таки узнать именно о математиках. У меня в этом конкретная практическая цель: использовать на лекциях, чтобы подчеркнуть, как важны в математике доказательства. Потому что часто приходится доказывать "очевидные" вещи. Но, оказывается, эта очевидность ложная, если даже великие математики заблуждались.

задан 2 Мар '12 22:11

изменен 3 Мар '12 12:13

2

По поводу п.2. Вопрос: "Какова вероятность встретить в Москве динозавра?". Ответ: "1/2 - либо встретишь, либо нет".

(3 Мар '12 2:11) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
1

Мне сразу пришли в голову примеры из другой области - физики, которые можно назвать одновременно назвать "гениальными заблуждениями" и "гениальными прозрениями".

  1. И.Ньютон считал, что свет - это поток частиц. Эта точка зрения была опровергнута сначала Гюйгенсом, а затем Френелем, убедительно показавшим, что свет - это волна. И только через 250 лет после создания квантовой механики стало ясно, что Ньютон не так уж был неправ.

  2. Еще более удивительна ситуация с учением Аристотеля, считавшим, что пустоты не существует. Казалось бы, все теории о заполненности вакуума, возникающие на протяжении более 2000 лет, потерпели полное фиаско. И только через 2400 лет (после создания современной теории физического вакуума), оказалось, что по сути Аристотель был прав.

  3. Еще дальше в древность. Демокрит был первым мыслителем, который предположил, что все тела состоят из мельчайших частиц, которые он назвал "атомами". Но Демокрит считал, что атомы не только разные у разных веществ, но и обладают разной формой и структурой. Например, атомы сладких продуктов обладают идеальной круглой формой, поэтому скатываясь по языку в горло, они дают приятные ощущения. А атомы горьких веществ - неправильной формы с колючками и крючьями, они раздирают полость рта и поэтому вызывают неприятные ощущения.

Дополнение 1. В математике одно из самых великих заблуждений - история с теоремой Ферма. Но думаю, что ее все знают, во всяком случае, она есть в Википедии.

Дополнение 2. Пишу продолжение комментариев. Даламбер прав, если вероятности выпадения решки и орла на одной монете равны соответственно $$p_{r}=1/\sqrt{3} \ \ \ и \ \ \ \ p_{o}=1-1/\sqrt{3}$$ (такие вот шулерские монеты). Если это предположить, то все аксиомы выполняются, а вероятность выпадения двух решек ==1/3.

Что касается конечных геометрий. А почему, собственно они не реальны? Это просто геометрическая интерпретация теории групп. И она очень даже используется, например, в кристаллографии. Вообще я много раз замечал - если построение некоторого математического (идеального) объекта проведено логически корректно и вписывается в существующую структуру математики, то обязательно найдется соответствующий ему реальный объект или процесс. Видимо наш мозг, как продукт этого мира, не в состоянии смоделировать то, чего "не бывает" в принципе.

Дополнение 3. Вспомнил еще фон Неймана. В 40-х годах он предложил один из первых методов генерации псевдослучайных чисел - "метод середины квадрата". Он был уверен, что метод дает случайное число с равномерным распределением на отрезке [0,1]. Значительно позже было доказано, что это распределение существенно отличается от равномерного.

ссылка

отвечен 3 Мар '12 0:07

изменен 16 Май '12 14:07

Я не говорю, что конечноые геометрии "не реальны", я говорю, что реализация может возникнуть после построения формальной теории, иногда намного посзже. Поэтому требование "реальности" нельзя включить в свойства "хорошей" теории.

(7 Мар '12 18:08) DocentI

@Андрей Юрьевич, про фон Неймана интересно! А что это за метод?

Я посмотрела метод в гугле. Понятно.

(15 Май '12 23:31) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пифагор думал, что все числа можно представить в виде отношения двух натуральных чисел, и о сущесвоовании иррационального числа $% \sqrt{2} $% долго держал в секрете, потому что не мог обьяснить противоречие.

ссылка

отвечен 2 Мар '12 23:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

А. Эйнштейн, ставший вместе с М. Планком основателем квантовой механики, до конца жизни так и не признал её право быть наукой в полном смысле этого слова.

ссылка

отвечен 3 Мар '12 1:32

10|600 символов нужно символов осталось
0

Хочу напомнить Вам, Андрей Юрьевич, о сравнительно недавнем очередном "доказательстве" Великой теоремы Ферма, опубликованном в "Новой газете". Теорема была доказана на одной странице в клеточку с помощью основной теоремы тригонометрии. Доказательство было дополнено фотографией процесса доказывания, причем фото было напечатано зеркальным образом. В ответ на критику и прочие насмешки Муратов (гл.редактор) хмуро хамил, а автор статьи (некто Бородянский из Омска) предлагал пари всем желающим о том, что недоразумения, отмеченные критиками, разъяснятся в течении недели. Потом все это тихо пошло на убыль и заглохло. Доказательство принадлежало омскому же "академику" РАЕН, в тот момент находившемуся под следствием. Наш московский Бунимович поспешил с восклицаниями типа "Наконец-то!!!". С тех пор мои отношения с "Новой газетой" сильно охладились.

ссылка

отвечен 4 Мар '12 20:14

изменен 7 Мар '12 0:22

Ну, таких "доказательств" за 300 с лишним лет было несколько тысяч. Но, мне кажется, что доказательство Эндрю Уайлса (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D1%81,_%D0%AD%D0%BD%D0%B4%D1%80%D1%8E) в 1994 г. сняло все вопросы...

(4 Мар '12 21:46) Андрей Юрьевич

@DocentI,"...сомнительно только, чтобы Бунимович...". Я бы тоже сомневался, если бы не прочел это собственными глазами или если бы не умел читать. "Новая Газета", №63,70 2005. Погуглите и найдете, если Вам "это тоже интересно".

(5 Мар '12 0:08) BuilderC

"Но осталось и нечто иное: соблазн найти все-таки рано или поздно ослепительно простое решение загадки. Осталось то, что в предыдущей публикации «Новой» математик, учитель (и поэт!) Евгений Бунимович назвал гриновским «зовом несбывшегося».", НГ, 63 http://www.novayagazeta.ru/society/26462.html

Д"Аламбер тоже был не глуп, однако же ошибался. Кстати, а как опровергнуть его предположение именно в контексте его рассуждений? Не смог придумать.

(5 Мар '12 13:19) BuilderC

Исходов то три, но они не равновероятные (см. мой комментарий, или еще один пример - "шулерский" кубик со смещенным центром тяжести).

(5 Мар '12 15:05) Андрей Юрьевич

А по поводу чего Бунимович говорил о "гриновском "Зове несбывшегося"? Может, по поводу людей, которые бросаются в море математики, не имея квалификации, и только этот "зов" их ведет? Зов ведь может быть и ложным, и обманным.
Что касается Д'Аламбера, опровержения два.
Если считать вероятность моделью реальности, то надо просто провести эксперимент и оценить частоту.
Если задавать ее аксиоматически, то его решение противоречит правилу умножения вероятностей. Может, и можно придумать систему аксиом под его решение, но ценности она не имеет.

(5 Мар '12 16:46) DocentI

Если исходить из рассуждений Даламбера, то он, скорей всего, имел в виду третий подход к вероятности - "классическую схему". В этом случае любое событие представляется в виде суммы попарно несовместных элементарных событий (исходов испытания), составляющих полную группу, т.е. раскладывается по такому "вероятностному базису". Но тогда все события, составляющие вероятностный базис, должны быть равновероятными - это постулируется. Без этого "классическая схема" не строится.

(5 Мар '12 17:27) Андрей Юрьевич

Вопрос только в том, что можно постулировать, а что - нет. Строго говоря, математик довольно свободен в выборе своих аксиом. Но все же ценными являются системы, адекватные практике и/или внутренне непротиворечивые.

(5 Мар '12 17:43) DocentI

Ну естественно, зачем постулировать то, чего нет и быть не может?! И Ваше "и/или" я бы заменил на жесткое "и"! Что касается "доказательства" теоремы Ферма, которое здесь обсуждается, я, помнится, на него как-то наткнулся в интернете, но не обратил внимания, как на элемент "информационного мусора", которым забит интернет, да и не только интернет...

(6 Мар '12 13:38) Андрей Юрьевич

Что значит "не может быть"? Для математика это всегда вопрос спорный. Ведь мы же строим формальные системы, а уж какую реальность они будут описывать - вопрос другой. Пример - хотя бы конечные геометрии. В них понятия "прямая", "плоскость" совершенно не соответствуют тем образам, которые их изначально породили.

(6 Мар '12 22:53) DocentI
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×340
×8

задан
2 Мар '12 22:11

показан
2134 раза

обновлен
16 Май '12 14:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru