Из начала координат проведено 120 лучей, которые делят координатную плоскость на углы в 3 ∘. Известно, что четыре из них совпадают с координатными полуосями. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих лучей с прямой y=60–x

задан 10 Ноя '13 12:31

изменен 16 Янв '14 20:22

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Лучи лежат на 60 прямых. Одна из них параллельна прямой $%x+y=60$%, все остальные её пересекают, и при этом задействован один луч из двух.

Рассмотрим 59 пересекающих прямую лучей. Выделим среди них луч, содержащийся в прямой $%y=x$%. Он входит в число 120 лучей, так как образует с осью $%Ox$% угол в 45 градусов, что кратно 3 градусам. Обозначим через $%A_0$% точку пересечения выделенного луча с прямой, а для остальных точек введём обозначения $%A_1$%, ..., $%A_{29}$% (для следующих лучей в направлении против часовой стрелки) и $%A_{-1}$%, ..., $%A_{-29}$% (для лучей в направлении движения часовой стрелки).

Легко заметить, что сумма векторов $%\vec{OA_k}+\vec{OA_{-k}}$% равна $%2\cdot\vec{OA_0}$%. Поэтому сумма всех 59 векторов будет равна $%59\cdot\vec{OA_0}$%. Точка $%A_0$% имеет координаты $%(30;30)$%, поэтому абсцисса вектора, умноженного на 59, составит $%59\cdot30=1770$%. Это и есть сумма абсцисс точек пересечения.

ссылка

отвечен 10 Ноя '13 12:47

@falcao, а если из начала координат проведено 720 лучей, которые делят координатную плоскость на углы в 0,50. И известно, что четыре из них совпадают с координатными полуосями. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих лучей с прямой y=10–x. то ответ $$1795$$...

(15 Дек '13 14:57) IvanLife

@IvanLife: да, тут будет $%(720/2-1)\cdot10/2$%, то есть 1795.

(15 Дек '13 15:17) falcao

@falcao,А если "Из начала координат проведено 240 лучей, которые делят координатную плоскость на углы в 1,5∘. Известно, что четыре из них совпадают с координатными полуосями. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих лучей с прямой y=30–x", то ответ 1785 же??

(3 Янв '14 15:01) doomsday

@doomsday: я считаю, что подстановка чисел в готовые формулы не должна вызывать проблем. Хотелось бы отвечать на вопросы, пусть даже элементарные, но в которых есть какое-то математическое содержание.

(3 Янв '14 19:48) falcao

подскажите, пожалуйста, какую формулу вы используете?

(5 Янв '14 20:47) DaryaMotyavina

@DaryaMotyavina: я использую обычные правила арифметики. Есть несколько чисел, которые надо просуммировать. Я замечаю, что в середине списка находится некоторое число -- скажем, $%a_0$%, а слева и справа от него находятся числа, в сумме дающие $%2a_0$%. Тогда сумма не изменится, если каждое слагаемое заменить на $%a_0$%, то есть $%a_0$% умножится на количество чисел списка.

(5 Янв '14 20:56) falcao

Моя задача выглядит вот так: Из начала координат проведено 360 лучей, которые делят координатную плоскость на углы в 1∘. Известно, что четыре из них совпадают с координатными полуосями. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих лучей с прямой y=20–x. Получится 895 или 1790?

(5 Янв '14 21:40) DaryaMotyavina

@DaryaMotyavina: я описал общий принцип решения и могу ответить на вопросы, если по объяснению что-то непонятно. Подстановка чисел в выражения, выполнение арифметических операций -- это совсем не то, чем хотелось бы в первую очередь заниматься.

(5 Янв '14 22:39) falcao

@falcao, у меня вопрос:
при решении мы рассматриваем лучи, лежащие в первой четверти, и поп половине из второй и четвертой четвертей (прямую пересекают 30 лучей первой четверти(считая оси) и по пятнадцать во второй и четвертой). Абсциссы точек пересечения лучей с прямой в первой и четвертой четверти положительны, абсциссы пересечения во второй четверти отрицательны, при этом сумма абсцисс второй и четвертой равна нулю. Тогда учитываем только сумму абсцисс первой четверти. Верно?

(11 Янв '14 17:48) Uchenitsa

@Uchenitsa: разделять лучи на разные категории здесь вроде бы незачем. Это усложняет подсчёт. В том решении, которое я привожу, учитываются все абсциссы. За счёт чего сумма каких-то абсцисс равна нулю, и верно ли это вообще (думаю, что вряд ли), я не проверял. Там суть задачи чисто арифметическая, и от геометрии используется только симметрия. Ясно, что при сложении $%k$%-го и $%-k$%-го векторов получается удвоенный вектор $%\vec{OA_0}$%, и этого вполне достаточно.

(11 Янв '14 20:28) falcao

@falcao, обсчиталась немного), спасибо за пояснение

(11 Янв '14 20:41) Uchenitsa
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ребят, в самом первом ответе "Рассмотрим 59 пересекающих прямую лучей", имелось ввиду 59 пересекающих прямую лучей? или прямых? Из начала координат проведено 144 луча, которые делят координатную плоскость на углы в 2,5∘. Известно, что четыре из них совпадают с координатными полуосями. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих лучей с прямой y=50–x. Подскажите пожалуйста ответ, у меня вышло 1700...верно?

ссылка

отвечен 6 Янв '14 15:54

изменен 6 Янв '14 16:06

@Dominik: 120 лучей из условия задачи лежат на 60 прямых. Из этих прямых есть одна, параллельная прямой $%y=60-x$%. Остальные 59 пересекают её в одной точке, отличной от начала координат. При этом каждая из 59 прямых состоит из двух лучей, один из которых пересекает "нашу" прямую, а один не пересекает. Это рассуждение показывает, что лучей, пересекающих "нашу" прямую, ровно 59. И вот мы теперь их берём и рассматриваем.

Я всегда стараюсь выражаться точно, поэтому если написано "круг", то это именно круг, а не окружность. Если говорится о лучах, то это именно лучи, а не прямые.

(6 Янв '14 16:02) falcao

теперь понятно) спасибо^^

(6 Янв '14 16:12) Dominik

хотела ещё кое-что уточнить, в условии сказано что 4 луча совпадают с координатными полуосями, тогда выходит, что лучей получается 56, поправьте, если не так...

(6 Янв '14 16:37) Dominik

@Dominik: а что следует из того, что это координатные оси? Разве их не надо учитывать? Они ведь ничем особым не выделяются. Фраза из условия задачи только отмечает сам факт, что лучи проведены не как попало. Полезная информация тут в том, что биссектриса первого координатного угла проведена как один из таких лучей -- только и всего. Но там нигде не говорится, что координатные оси надо исключить из рассмотрения.

(6 Янв '14 19:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

720/2−1)⋅10/2, то есть 1795. здесь почти все понятно кроме одного а почему мы 10/2

ссылка

отвечен 15 Янв '14 21:36

объясните?

(15 Янв '14 21:36) HULK29

@denisivlev989: я могу объяснить то, что у меня написано в решении для тех чисел, которые были изначально. Если там что-либо непонятно, готов ответить и прояснить. А свой вариант Вы сами решите по аналогии. Решать одну и ту же задачу в сотый раз, подставляя туда другие числа, мне неинтересно, о чём я на форуме много раз говорил.

(15 Янв '14 21:40) falcao

ну это и есть ваша задача,где ответ у вас получился 1795 а если из начала координат проведено 720 лучей, которые делят координатную плоскость на углы в 0,50. И известно, что четыре из них совпадают с координатными полуосями. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих лучей с прямой y=10–x. то ответ

(15 Янв '14 23:57) HULK29

@denisivlev989: у меня в тексте ответ 1770. Если принцип решения понятен, то задача с другими числами решается без проблем.

(16 Янв '14 0:54) falcao

как мы узнали что точка A0 имеет координаты (30;30)

(16 Янв '14 17:38) HULK29

@denisivlev989: точка $%A_0$%, по построению, лежит на прямой $%y=x$%, а также на прямой $%y=60-x$%. Из этих двух условий следует, что $%x=y=30$%.

(16 Янв '14 17:40) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,148

задан
10 Ноя '13 12:31

показан
3316 раз

обновлен
16 Янв '14 17:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru