|
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$(3\sin^6x)^3 - 2(\sin^2x+a) = (\sin^2x+a)^3 - 6\sin^6x$$ имеет хотя бы одно решение. Нет идей, кроме вынесения общих множителей за скобки. задан 12 Июл '22 13:37 
Valeriy |
|
Рассмотрим функцию $%f(t)=t^3+2t$%. Она возрастает, что видно как при помощи производной, так и из других соображений (сумма двух возрастающих функций). Тем самым, из условия $%f(t_1)=f(t_2)$% следует $%t_1=t_2$%. Уравнение из условия можно переписать в виде $%f(3\sin^6x)=f(\sin^2x+a)$%. Это равносильно $%3\sin^6x=\sin^2x+a$%. При этом $%y=\sin^2x\in[0,1]$%, поэтому решение относительно $%x$% будет существовать тогда и только тогда, когда уравнение $%3y^3-y=a$% имеет решение на отрезке $%y\in[0,1]$%. Иными словами, нужно найти множество значений функции $%g(y)=3y^3-y$% на этом отрезке. Имеем $%g(0)=0$%, $%g(1)=2$%, а также $%g'(y)=9y^2-1=0$% при $%y=\frac13$% на данном отрезке. Значение в критической точке равно $%g(\frac13)=-\frac29$%. Отсюда понятно, что наименьшее значение функции на отрезке равно $%-\frac29$%, наибольшее равно $%2$%, а ответом в задаче будет $%a\in[-\frac29,2]$%. отвечен 12 Июл '22 14:16 
falcao По моему способу такой же ответ, значит второй сомножитель действительно положителен)
(12 Июл '22 14:27)
mihailm
@mihailm: конечно, положителен, но это следует из общих соображений. Задание совершенно типовое, таких примеров в ЕГЭ было очень много даже в рамках данного форума.
(12 Июл '22 14:52)
falcao
@falcao: Да, красивое решение, функциональный метод.
(12 Июл '22 18:09)
Michael2021
|
Раскладывается как я вижу на 2 множителя, один из которых простой a-3sin^6(t)+sin^2(t), а второй похоже положительный (попробуйте это доказать).