|
Дана трапеция с боковыми сторонами, равными 3 и 5. Прямая пересекает основания так, что площадь трапеции разбивается в отношении 1:2. Периметры двух четырехугольников, на которые разбивается трапеция, равны. Найти наибольшую допустимую площадь трапеции. задан 10 Ноя '13 19:42 
student |
|
Пусть одно основание разбивается на отрезки $%a$%, $%b$%, а второе -- на $%c$%, $%d$%. Будем считать, что $%a$% и $%c$% находятся ближе к боковой стороне длиной 5. Из равенства периметров имеем $%a+c+5=b+d+3$%, то есть $%b+d=a+c+2 > a+c$%. Это значит, что площадь той части трапеции, которая ближе к другой боковой стороне, больше. (Высота здесь общая, и площади пропорциональны сумме оснований.) Отсюда $%b+d=2(a+c)$% из соотношения площадей, то есть $%a+c=2$%, $%b+d=4$%. Сумма оснований равна 6, то есть площадь равна $%3h$%. Ясно, что $%h$% не длиннее боковой стороны, откуда $%S\le9$%. Пример с $%S=9$% легко строится, если взять боковую сторону длиной 3 перпендикулярной основаниям, а сами основания пусть имеют длины $%1$% и $%5$%. Случай $%a=1/2$%, $%b=1/2$%, $%c=3/2$%, $%d=7/2$% удовлетворяет условиям задачи. отвечен 11 Ноя '13 0:50 
falcao |