В треугольнике ABC вершины A, B и центр описанной окружности лежат на одной окружности с основаниями биссектрис, проведенных из A и B. Найдите углы треугольника.

задан 10 Ноя '13 20:15

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%AA_1$% и $%BB_1$% -- отрезки биссектрис. Проведём окружность, на которой лежат точки $%A$%, $%B$%, $%A_1$%, $%B_1$%. Вписанные углы $%A_1AB_1$% и $%A_1BB_1$% равны. Но это половины углов $%\angle A$% и $%\angle B$%, то есть треугольник $%ABC$% равнобедренный с вершиной $%C$%.

Рассмотрим случай, когда $%ABC$% остроугольный. Тогда точка $%O$% лежит внутри треугольника. Теперь рассматриваем окружность, описанную около $%ABC$%. Вписанный в неё угол $%ACB$% равен половине центрального угла $%AOB$%. Последний же, будучи вписанным углом предыдущей окружности, равен $%AA_1B$%, а это внешний угол треугольника $%AA_1C$% при вершине $%A_1$%, и он равен сумме двух внутренних углов этого треугольника, не смежных с ним, то есть $%\angle C+\angle A/2$%. Это величина центрального угла, равная $%2\angle C$%. Тем самым, $%\angle C=\angle A/2$%. При этом сумма углов $%\angle C+2\angle A$% равна 180 градусам. Решая полученную систему, находим углы: $%\angle C=36^{\circ}$%, $%\angle A=\angle B=72^{\circ}$%.

Осталось разобрать случай прямоугольного и остроугольного треугольника. Первое просто: здесь $%O$% является серединой $%AB$%, то есть не может лежать на одной окружности с концами отрезка. Для тупоугольного треугольника можно сделать отдельный рисунок. Угол $%AOB$% здесь равен $%180^{\circ}-\angle AA_1B=\angle AA_1C$%. С другой стороны, половина этого угла равна $%180^{\circ}-\angle C$%. Получается, что $%360^{\circ}-2\angle C=\angle AA_1C=180^{\circ}-\angle C-\angle A/2$%. Но из этого следует, что $%\angle C > 180^{\circ}$%, что невозможно. Поэтому полученное выше решение единственно.

ссылка

отвечен 11 Ноя '13 0:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,419
×603

задан
10 Ноя '13 20:15

показан
604 раза

обновлен
11 Ноя '13 0:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru