геометрия - Планиметрия: задача про углы, биссектрису и центр описанной окружности

Пусть $%AA_1$% и $%BB_1$% -- отрезки биссектрис. Проведём окружность, на которой лежат точки $%A$%, $%B$%, $%A_1$%, $%B_1$%. Вписанные углы $%A_1AB_1$% и $%A_1BB_1$% равны. Но это половины углов $%\angle A$% и $%\angle B$%, то есть треугольник $%ABC$% равнобедренный с вершиной $%C$%.

Рассмотрим случай, когда $%ABC$% остроугольный. Тогда точка $%O$% лежит внутри треугольника. Теперь рассматриваем окружность, описанную около $%ABC$%. Вписанный в неё угол $%ACB$% равен половине центрального угла $%AOB$%. Последний же, будучи вписанным углом предыдущей окружности, равен $%AA_1B$%, а это внешний угол треугольника $%AA_1C$% при вершине $%A_1$%, и он равен сумме двух внутренних углов этого треугольника, не смежных с ним, то есть $%\angle C+\angle A/2$%. Это величина центрального угла, равная $%2\angle C$%. Тем самым, $%\angle C=\angle A/2$%. При этом сумма углов $%\angle C+2\angle A$% равна 180 градусам. Решая полученную систему, находим углы: $%\angle C=36^{\circ}$%, $%\angle A=\angle B=72^{\circ}$%.

Осталось разобрать случай прямоугольного и остроугольного треугольника. Первое просто: здесь $%O$% является серединой $%AB$%, то есть не может лежать на одной окружности с концами отрезка. Для тупоугольного треугольника можно сделать отдельный рисунок. Угол $%AOB$% здесь равен $%180^{\circ}-\angle AA_1B=\angle AA_1C$%. С другой стороны, половина этого угла равна $%180^{\circ}-\angle C$%. Получается, что $%360^{\circ}-2\angle C=\angle AA_1C=180^{\circ}-\angle C-\angle A/2$%. Но из этого следует, что $%\angle C > 180^{\circ}$%, что невозможно. Поэтому полученное выше решение единственно.