Здравствуйте, господа и дамы!

Задача о некоем условном игральном аппарате, оч хорошо укладывается именно в эту метафору. За скорую помощь в решении обязуюсь перевести на указанный вами телефон 100 руб. (Не в качестве оплаты, это смешно, но в качестве жеста искренней благодарности. Если что-то не то сказал, прошу не корить. Я не знаю, как всё устроено здесь.) Я финансово тоже с этого не поимею, но интересно весьма. И нужно.

Дано:

  • Есть четыре слота.
  • Значения в слотах меняются при каждой итерации произвольным образом.
  • В каждую единицу времени в каждом слоте случайным образом выпадает одно из 8-ми значений.
  • В любом из двух слотов на следующей итерации может выпасть одинаковое значение.
  • В любом из трёх любых - так же.
  • В любом из четырёх - тоже, само собой.
  • За выпадение 2-х значений игроку начисляется N2 баллов.
  • За выпадение 3-х значений игроку начисляется N3 баллов, больше, само собой.
  • За выпадение 4-х значений игроку начисляется N4 баллов, ещё больше.
  • За каждую итерацию с игрока списывается 1 балл.
  • Статистически игрок должен [b]выигрывать[/b] ровно V = 101%, допустим.
  • Изменять можно N2, N3, N4 произвольно. Исходя из желаемого значения V.

Вопрос:

  1. Каковы вероятности выпадения одинаковых значений в 2, 3 или 4 слота?
  2. Как сбалансировать выигрыши, начисляемые игроку, при 2, 3 и 4-х совпадениях? Какие процентные соотношения задать, и от чего они должны вычисляться?
  3. Какова будет математическая модель - при задании [b]только[/b] статистического процента выигрыша, не 101%, а чего-то ещё? Как считать N2, N3, N4, изменяя только статистический процент выигрыша?

Мои скромные рассуждения уложились в следующее: Вероятность выпадения определённой цифры в одном слоте = 100/8 = 12,50% В двух одновременно = 12,50%/8 = 1,56% В трёх = 1,56%/8 = 0,20% В четырёх = 0,02%, соответственно. Вот на этом месте у меня наступает ступор...

Во-первых, я явно туплю. Во-вторых, если бы я не тупил на первом шаге, я даже не соображу, куда двигаться дальше.

  • У меня первое техническое, второе экономическое, но я, склонив колено, прошу помощи. Что-то я совсем не соображу. С такого рода задачами не сталкивался 100 лет. Заранее спасибо.
  • Модераторам: если я неверно выбрал ветку - прошу простить меня, и переместить её в нужное место.

задан 10 Ноя '13 20:22

10|600 символов нужно символов осталось
0

Я отвечу частично -- только по поводу подсчёта вероятностей. Пусть имеется 4 слота, и в каждом из них с равной вероятностью выпадает одна из восьми цифр. Тогда $%1/8$% есть вероятность выпадения заданной цифры в заданном слоте, что очевидно. Вероятность $%(1/8)^2$% соответствует выпадению заданной цифры в двух заданных слотах. Например, это будет вероятность того, что в первых двух слотах выпадет 7 (для удобства будем считать, что выпадают цифры от 0 до 7 включительно). При этом не исключается, что в двух оставшихся слотах также могло выпасть какое-то количество семёрок.

Если речь идёт о вероятности того, что какие-то две цифры в каких-то двух слотах повторились, то подсчёт более сложен. Прежде всего, найдём вероятность того, что все 4 значения будут различными. По формуле классической вероятности, это будет отношение $%8\cdot7\cdot6\cdot5/8^4$%. Это около 41 процентов. То есть какие-то повторения цифр будут наблюдаться примерно в 59 случаев.

Сейчас рассмотрим вероятность того, что все 4 цифры совпали. Подходящих вариантов здесь 8, и поделить надо на общее число вариантов, то есть на $%8^4$%. Получится $%1/8^3=1/512$%. Это чуть меньше $%0,2\%$%.

Не слишком сложен и подсчёт для того, что три цифры совпали, а четвёртая от них отличается. Прежде всего, пусть совпали три первые цифры, а четвёртая цифра с ними не совпадает. Таких случаев имеется $%8\cdot7=56$%. Это количество мы умножаем на 4, так как помимо рассмотренного варианта есть ещё другие -- когда три цифры повторились в других слотах, а отличается от них, скажем, вторая цифра. Все эти варианты равновероятны. То есть в итоге мы имеем вероятность $%8\cdot7\cdot4/8^4$%, и это порядка $%5$% с половиной процентов.

Всё остальное, а это более 53 процентов случаев, соответствует тому, что тройных повторений нет, а парные имеются. Причём таких парных совпадений может быть одно или два. Для полноты картины подсчитаем эти вероятности. Сначала разберём случай, когда две цифры совпали в каких-то двух слотах, а больше совпадений не наблюдается (например, 8303). Если совпали первые две цифры, а остальное отличается, что таких случаев $%8\cdot7\cdot6$%. Умножаем эту величину на $%C_4^2=6$%, то есть на количество способов зафиксировать два слота из четырёх, а потом делим всё на общее число вариантов. Получается $%8\cdot7\cdot6^2/8^4$%. Это почти половина случаев: $%49,2\%$%. То есть за выпадение такой комбинации логично никакой "премии" не давать.

Последний случай -- типа "два плюс два", когда совпали две пары цифр. Здесь мы тремя способами выбираем "рисунок" совпадения -- какая цифра совпала с какой. Ясно, что первая цифра совпадёт с одной из трёх следующих, и этим всё определяется. Далее 8 вариантов для первой цифры, и 7 вариантов для второй совпадающей пары цифр. Итого $%3\cdot8\cdot7/8^4$%, и это примерно 4 процента.

Теперь по поводу распределения выигрышей. Здесь нет общего "рецепта" по поводу того, как это всё следует распределять. Подходы могут быть разные, и не факт, что больше призовых очков непременно должна получать та комбинация, которая менее вероятна. В общем и целом, конечно, это так, но помимо математической вероятности существует ещё "психологическая": иногда нам какие-то события могут казаться более редкими (или более частыми) нежели это на самом деле происходит.

В данном примере можно было бы предложить как один из возможных вот какой план. Если все цифры попарно различны, или если там только одна пара совпадает, то игрок ничего не получает. За две пары, за одну тройку, а также за одну четвёрку, распределяем "призовой фонд" обратно пропорционально вероятностям. Это будет примерно $%3,3$% за тройку одинаковых цифр, $%4,6$% две за пары, и $%92$% за 4 одинаковых цифры. С каждых 100 участников при таком распределении что-то получают и устроители игры, так как сумма меньше 100. Разумеется, цифры здесь можно варьировать.

Здесь была проанализирована ситуация, когда все слоты равноправны. Я знаю, что на практике бывает и иначе, и там расчёт вероятностей будет другой. Но все эти подсчёты укладываются в рамки классического определения вероятности и "сопутствующих" этому средств.

ссылка

отвечен 11 Ноя '13 10:57

Можно с вами письменно связаться? joo@joo.ru, skype: joo.ru (Alex Teplo), ICQ: 155555977. Эссе великолепно и обнадёживающе. Возможно, дальнейшее развитие темы не укладывается в рамки переписки на сайте. С другой стороны, тема сама по себе весьма интересна чуть более, чем многим, как мне подсказывает моя скромная интуиция. Будет воля, выйдите на связь. Хотелось бы вменяемого, солидного и взаимоинтересного развития. Я крайне признателен вам за внимание к вопросу и за ваш достойный ответ.

(11 Ноя '13 14:01) jooru

Я Вам напишу со своего адреса. Не знаю, в какой мере моё участие в чём-либо может оказаться кому-то полезным, поскольку здесь ничего кроме простого теоретико-вероятностного аппарата (а по сути дела, даже комбинаторики) не применяется. Кроме того, я всеми этими вещами занимаюсь как бы для чистого развлечения, то есть "из любви к искусству" :)

(11 Ноя '13 19:34) falcao

Гораздо важнее ваш подход и 2) ваш опыт. Позвольте уверить вас, будет крайне полезно. Причём, многим. Что до меня, я половиной дел последнее время занимаюсь из-за той же "любви". ) Гораздо интереснее будет поговорить с вами (уже, наверное, в привате) о некоей гораздо более интересной СИСТЕМЕ. У меня об этом есть замечательное представление, но мне совершенно не хватает именно математического аппарата. Уверен, вас это заинтересует и будет полезно и системе, и вам. С огромным уважением. Жду вашего сообщения. P.S. Читал ваш ЖЖ. Любопытно.

(11 Ноя '13 22:35) jooru
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×184

задан
10 Ноя '13 20:22

показан
603 раза

обновлен
13 Ноя '13 16:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru