статистика - Задача об игральном аппарате

Я отвечу частично -- только по поводу подсчёта вероятностей. Пусть имеется 4 слота, и в каждом из них с равной вероятностью выпадает одна из восьми цифр. Тогда $%1/8$% есть вероятность выпадения заданной цифры в заданном слоте, что очевидно. Вероятность $%(1/8)^2$% соответствует выпадению заданной цифры в двух заданных слотах. Например, это будет вероятность того, что в первых двух слотах выпадет 7 (для удобства будем считать, что выпадают цифры от 0 до 7 включительно). При этом не исключается, что в двух оставшихся слотах также могло выпасть какое-то количество семёрок.

Если речь идёт о вероятности того, что какие-то две цифры в каких-то двух слотах повторились, то подсчёт более сложен. Прежде всего, найдём вероятность того, что все 4 значения будут различными. По формуле классической вероятности, это будет отношение $%8\cdot7\cdot6\cdot5/8^4$%. Это около 41 процентов. То есть какие-то повторения цифр будут наблюдаться примерно в 59 случаев.

Сейчас рассмотрим вероятность того, что все 4 цифры совпали. Подходящих вариантов здесь 8, и поделить надо на общее число вариантов, то есть на $%8^4$%. Получится $%1/8^3=1/512$%. Это чуть меньше $%0,2\%$%.

Не слишком сложен и подсчёт для того, что три цифры совпали, а четвёртая от них отличается. Прежде всего, пусть совпали три первые цифры, а четвёртая цифра с ними не совпадает. Таких случаев имеется $%8\cdot7=56$%. Это количество мы умножаем на 4, так как помимо рассмотренного варианта есть ещё другие -- когда три цифры повторились в других слотах, а отличается от них, скажем, вторая цифра. Все эти варианты равновероятны. То есть в итоге мы имеем вероятность $%8\cdot7\cdot4/8^4$%, и это порядка $%5$% с половиной процентов.

Всё остальное, а это более 53 процентов случаев, соответствует тому, что тройных повторений нет, а парные имеются. Причём таких парных совпадений может быть одно или два. Для полноты картины подсчитаем эти вероятности. Сначала разберём случай, когда две цифры совпали в каких-то двух слотах, а больше совпадений не наблюдается (например, 8303). Если совпали первые две цифры, а остальное отличается, что таких случаев $%8\cdot7\cdot6$%. Умножаем эту величину на $%C_4^2=6$%, то есть на количество способов зафиксировать два слота из четырёх, а потом делим всё на общее число вариантов. Получается $%8\cdot7\cdot6^2/8^4$%. Это почти половина случаев: $%49,2\%$%. То есть за выпадение такой комбинации логично никакой "премии" не давать.

Последний случай -- типа "два плюс два", когда совпали две пары цифр. Здесь мы тремя способами выбираем "рисунок" совпадения -- какая цифра совпала с какой. Ясно, что первая цифра совпадёт с одной из трёх следующих, и этим всё определяется. Далее 8 вариантов для первой цифры, и 7 вариантов для второй совпадающей пары цифр. Итого $%3\cdot8\cdot7/8^4$%, и это примерно 4 процента.

Теперь по поводу распределения выигрышей. Здесь нет общего "рецепта" по поводу того, как это всё следует распределять. Подходы могут быть разные, и не факт, что больше призовых очков непременно должна получать та комбинация, которая менее вероятна. В общем и целом, конечно, это так, но помимо математической вероятности существует ещё "психологическая": иногда нам какие-то события могут казаться более редкими (или более частыми) нежели это на самом деле происходит.

В данном примере можно было бы предложить как один из возможных вот какой план. Если все цифры попарно различны, или если там только одна пара совпадает, то игрок ничего не получает. За две пары, за одну тройку, а также за одну четвёрку, распределяем "призовой фонд" обратно пропорционально вероятностям. Это будет примерно $%3,3$% за тройку одинаковых цифр, $%4,6$% две за пары, и $%92$% за 4 одинаковых цифры. С каждых 100 участников при таком распределении что-то получают и устроители игры, так как сумма меньше 100. Разумеется, цифры здесь можно варьировать.

Здесь была проанализирована ситуация, когда все слоты равноправны. Я знаю, что на практике бывает и иначе, и там расчёт вероятностей будет другой. Но все эти подсчёты укладываются в рамки классического определения вероятности и "сопутствующих" этому средств.