|
$$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1 * 3 * 5 * ... * (2n-1)}{n!}} $$ Я дошел до момента $$ e^{\lim_{n \to +\infty} \ ln^{2}{\frac{1}{2 * 4 * 6 * ... * 2n}}} $$ И в итоге получается бесконечность, но калькулятор выдает 2. Не понимаю, где я ошибся задан 26 Июл '22 22:40 
Mathbook |
|
Здесь можно применить формулу Стирлинга, но можно обойтись и более слабыми средствами. Выражение под знаком корня $%n$%-й степени равно $%\frac{(2n)!}{2^nn!^2}$%. Понятно, что $%C_{2n}^n$% является наибольшим среди биномиальных коэффициентов в строке треугольника Паскаля. Сумма чисел этой строки равна $%2^{2n}$%, поэтому $%\frac{4^n}{2n+1}< C_{2n}^n < 4^n$%. Извлечение корня $%n$%-й степени и "лемма о двух милиционерах" приводят к равенству $%\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{C_{2n}^n}=4$%. Поэтому ответом в задаче будет число $%2$%. отвечен 26 Июл '22 23:23 
falcao |
|
Предоставлю еще одно решение. Вспомним известный факт из теории последовательностей. (см. скриншот ниже).
Этот факт доказывается при помощи неравенства Коши о средних и теоремы о двух милиционерах. В нашем случае, x(n)=(2n-1)/n. x(n) имеет предел 2. Поэтому и предел исходной последовательности равен 2. отвечен 27 Июл '22 11:02 
Rose2021 |
