$$ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\frac{1 * 3 * 5 * ... * (2n-1)}{n!}} $$

Я дошел до момента

$$ e^{\lim_{n \to +\infty} \ ln^{2}{\frac{1}{2 * 4 * 6 * ... * 2n}}} $$

И в итоге получается бесконечность, но калькулятор выдает 2. Не понимаю, где я ошибся

задан 26 Июл 22:40

изменен 26 Июл 23:16

falcao's gravatar image


279k93751

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь можно применить формулу Стирлинга, но можно обойтись и более слабыми средствами.

Выражение под знаком корня $%n$%-й степени равно $%\frac{(2n)!}{2^nn!^2}$%. Понятно, что $%C_{2n}^n$% является наибольшим среди биномиальных коэффициентов в строке треугольника Паскаля. Сумма чисел этой строки равна $%2^{2n}$%, поэтому $%\frac{4^n}{2n+1}< C_{2n}^n < 4^n$%. Извлечение корня $%n$%-й степени и "лемма о двух милиционерах" приводят к равенству $%\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{C_{2n}^n}=4$%. Поэтому ответом в задаче будет число $%2$%.

ссылка

отвечен 26 Июл 23:23

10|600 символов нужно символов осталось
0

Предоставлю еще одно решение.

Вспомним известный факт из теории последовательностей. (см. скриншот ниже).

alt text

Этот факт доказывается при помощи неравенства Коши о средних и теоремы о двух милиционерах.

В нашем случае, x(n)=(2n-1)/n. x(n) имеет предел 2. Поэтому и предел исходной последовательности равен 2.

ссылка

отвечен 27 Июл 11:02

изменен 27 Июл 11:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×840
×73

задан
26 Июл 22:40

показан
118 раз

обновлен
27 Июл 11:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru