геометрия - Площадь проекции параллелепипеда на плоскость

Наверное, можно проще и с использованием чисто геометрических рассуждений решение найти... но некоторые факты мне пришли в голову исходя из векторных соображений...

Первый шаг - осознание того, что получим при проецировании призмы на плоскость $%P$%, которая перпендикулярна $%\bar{d}=\overline{AC'}$% и, для определённости, проходит через точку $%A$%... Понятно, что проецироваться будут грани (параллелограммы) $%ADD'A'$%, $%ABB'A'$% и $%ABCD$%... проекциями также будут параллелограммы...

Грани призмы задаются векторами $%\bar{a}=\overline{AA'},\; \bar{b}=\overline{AB},\; \bar{c}=\overline{AD}$%, которые на плоскости $%P$% спроецируются в векторы $%\bar{a}_1,\; \bar{b}_1, \; \bar{c}_1$%... Поскольку проецируем параллельно вектору $%\bar{d} = \bar{a} + \bar{b} + \bar{c}$%, то используя формулу проекции вектора на вектор, можно доказать (самостоятельно), что $%\bar{a}_1 + \bar{b}_1 + \bar{c}_1 = \bar{0} $%... откуда следует, что все три грани параллелепипеда проецируются на параллелограммы одинаковой площади … (кстати, тоже самое справедливо и для проецирования относительно другой диагонали)...

Второй шаг – выберем одну из граней (поудобнее) и найдем её площадь проекции, используя то, что $%S_{pro} = S_{gr}\cos(\alpha)$%, где $%\alpha$% - угол между гранью и плоскостью проецирования...
Естественно, что удобной гранью является $%ABCD$%, которая образует с вектором $%\bar{d}$% угол, косинус которого равен $%4/5$%, а, следовательно, грань с плоскостью $%P$% образует угол с косинусом $%3/5$%...
Обозначим через $%h$% длину высоты, опущенную из вершины $%B$% на $%AC$%. Тогда $%S_{ABCD}=4h$%, следовательно, $$S_{pro} = \frac{\sqrt{34}}{3} = 4h \cdot\frac{3}{5} \quad\Rightarrow\quad h=\frac{5\sqrt{34}}{12} $$

Третий шаг – вычисление площади проекции относительно диагонали $%BD’$%... тут надеюсь сможете сами сделать вычисления ... если я нигде не наврал, то ответ получается 15…

А как, если площадь равна scrt89, AA1 = 8, AC = 6, BD = 5? 10?

Обозначим плоскость перпендикулярную AC1 как (p), где (p) проходит через А. плоскость перпендикулярную BD1 как (r). Фигура, проецируемая на (p), состоит из проекций параллелограммов A1B1BA, ABCD, A1D1DA. Фигура, проецируемая на (r), состоит из проекций параллелограммов A1B1BA, ABCD, B1C1CB. Фигуры проецируемые на (p) и (r) имеют равную площадь. Площадь i-той грани обозначим Si. Площадь ее проекции на (p) - Pi, площадь ее проекции на (r) - Ri. Для каждой грани верно - Pi = Si X cos(si и p). Косинус во всех случаях равен 3/5. То есть сумма S = (P1+P2+P3) X 3/5. Аналогично для Ri получаем Ri = Si X (3/корень из 34). Получается 5. И не нужны никакие векторы и высоты?

Добрый день! Наверное уже полный ступор=) Не понимаю как решить эту задачу(( Господин Falcao покажите мастер-класс, решите пожалуйста: Площадь проекции прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 с параллелограммом ABCD в основании на плоскость, перпендикулярную его диагонали AC1, равна √41. Чему будет равна площадь проекции параллелепипеда на плоскость, перпендикулярную диагонали BD1, если AA1=5, AC=12, BD=4?