Площадь проекции прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 с параллелограммом ABCD в основании на плоскость, перпендикулярную его диагонали AC1, равна √34. Чему будет равна площадь проекции параллелепипеда на плоскость, перпендикулярную диагонали BD1, если AA1=3, AC=4, BD=5?

задан 11 Ноя '13 15:31

изменен 12 Ноя '13 2:54

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

4h = (5/9)sqrt(34) cos psi = 3/sqrt(34) S = 3*(5/9)sqrt(34)*(3/sqrt(34))= 5, кажется так

ссылка

отвечен 22 Ноя '13 18:45

изменен 22 Ноя '13 18:46

@sLvr, да... видимо я обсчитался... ещё и $%h$% написал неверно... (((

(22 Ноя '13 23:12) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

Наверное, можно проще и с использованием чисто геометрических рассуждений решение найти... но некоторые факты мне пришли в голову исходя из векторных соображений...

Первый шаг - осознание того, что получим при проецировании призмы на плоскость $%P$%, которая перпендикулярна $%\bar{d}=\overline{AC'}$% и, для определённости, проходит через точку $%A$%... Понятно, что проецироваться будут грани (параллелограммы) $%ADD'A'$%, $%ABB'A'$% и $%ABCD$%... проекциями также будут параллелограммы...

Грани призмы задаются векторами $%\bar{a}=\overline{AA'},\; \bar{b}=\overline{AB},\; \bar{c}=\overline{AD}$%, которые на плоскости $%P$% спроецируются в векторы $%\bar{a}_1,\; \bar{b}_1, \; \bar{c}_1$%... Поскольку проецируем параллельно вектору $%\bar{d} = \bar{a} + \bar{b} + \bar{c}$%, то используя формулу проекции вектора на вектор, можно доказать (самостоятельно), что $%\bar{a}_1 + \bar{b}_1 + \bar{c}_1 = \bar{0} $%... откуда следует, что все три грани параллелепипеда проецируются на параллелограммы одинаковой площади … (кстати, тоже самое справедливо и для проецирования относительно другой диагонали)...

Второй шаг – выберем одну из граней (поудобнее) и найдем её площадь проекции, используя то, что $%S_{pro} = S_{gr}\cos(\alpha)$%, где $%\alpha$% - угол между гранью и плоскостью проецирования...
Естественно, что удобной гранью является $%ABCD$%, которая образует с вектором $%\bar{d}$% угол, косинус которого равен $%4/5$%, а, следовательно, грань с плоскостью $%P$% образует угол с косинусом $%3/5$%...
Обозначим через $%h$% длину высоты, опущенную из вершины $%B$% на $%AC$%. Тогда $%S_{ABCD}=4h$%, следовательно, $$S_{pro} = \frac{\sqrt{34}}{3} = 4h \cdot\frac{3}{5} \quad\Rightarrow\quad h=\frac{5\sqrt{34}}{12} $$

Третий шаг – вычисление площади проекции относительно диагонали $%BD’$%... тут надеюсь сможете сами сделать вычисления ... если я нигде не наврал, то ответ получается 15…

ссылка

отвечен 12 Ноя '13 1:37

изменен 12 Ноя '13 1:38

@all_exist: я первоначально воспринял эту задачу, как если бы в ней шла речь о проектировании граней. (Чаще всего именно так бывает.) Но потом я заметил, что в тексте говорится о проектировании на плоскость всего трёхмерного тела. В таком виде задача делается более сложной. По всей видимости, это не опечатка. Правда, я в таком усложнённом варианте над задачей пока не думал.

(12 Ноя '13 17:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

А как, если площадь равна scrt89, AA1 = 8, AC = 6, BD = 5? 10?

ссылка

отвечен 10 Дек '13 12:19

изменен 11 Дек '13 12:48

@Allan: если общий принцип понятен, то с другими числами задача должна решаться по аналогии. Если по принципу решения есть какие-то вопросы, то имеет смысл обратиться к @all_exist и уточнить. (Я эту задачу не решал, и даже в условие как следует не вдумывался, потому что уже было помещено решение.)

(11 Дек '13 15:17) falcao

@all_exist: А можно эту задачу решить проще и с использованием чисто геометрических рассуждений. Заранее искренне благодарен.

(11 Дек '13 19:47) serg55
1

Да, плюс к serg55. Хотелось бы увидеть ещё один способ.

(12 Дек '13 2:50) Allan
10|600 символов нужно символов осталось
0

Обозначим плоскость перпендикулярную AC1 как (p), где (p) проходит через А. плоскость перпендикулярную BD1 как (r). Фигура, проецируемая на (p), состоит из проекций параллелограммов A1B1BA, ABCD, A1D1DA. Фигура, проецируемая на (r), состоит из проекций параллелограммов A1B1BA, ABCD, B1C1CB. Фигуры проецируемые на (p) и (r) имеют равную площадь. Площадь i-той грани обозначим Si. Площадь ее проекции на (p) - Pi, площадь ее проекции на (r) - Ri. Для каждой грани верно - Pi = Si X cos(si и p). Косинус во всех случаях равен 3/5. То есть сумма S = (P1+P2+P3) X 3/5. Аналогично для Ri получаем Ri = Si X (3/корень из 34). Получается 5. И не нужны никакие векторы и высоты?

ссылка

отвечен 7 Янв '14 1:33

изменен 7 Янв '14 14:26

@katya: я не понял Вашего рассуждения. Вы говорите, что площадь проецируемой фигуры одинакова для разных случаев. Откуда это следует? Ведь проецируются три параллелограмма, каждый из них расположен в своей плоскости, они находятся под разными углами, и косинусы для них получаются, вообще говоря, разные. Откуда тогда следует, что некая величина будет неизменной?

(7 Янв '14 6:08) falcao

Пыталась сократить рассуждение - не вышло. Исправила.

(7 Янв '14 12:49) katya

@katya: насчёт векторов и прочего -- я здесь излагал решение без их привлечения. Там тоже косинусы сравниваются. Видимо, тот эффект, который здесь надо выявить, обосновывается в общем виде. Только это надо сделать в убедительной форме. Само по себе заключение можно сделать на основании конкретного анализа, а из общих соображений это не вполне ясно. Ваше рассуждение, скорее всего, близко к тому, которое имеется по ссылке.

(7 Янв '14 15:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Добрый день! Наверное уже полный ступор=) Не понимаю как решить эту задачу(( Господин Falcao покажите мастер-класс, решите пожалуйста: Площадь проекции прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 с параллелограммом ABCD в основании на плоскость, перпендикулярную его диагонали AC1, равна √41. Чему будет равна площадь проекции параллелепипеда на плоскость, перпендикулярную диагонали BD1, если AA1=5, AC=12, BD=4?

ссылка

отвечен 7 Янв '14 15:53

Я излагал решение здесь для задачи с несколько иными числами. Но способ решения тот же. Решите по аналогии.

(7 Янв '14 15:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,510

задан
11 Ноя '13 15:31

показан
3471 раз

обновлен
7 Янв '14 15:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru