геометрия - Нахождение площади 4-х угольника

С составлением рисунка тут нет никаких проблем. Изображаем треугольник $%ABC$%. Считаем выделенной стороной, скажем, $%AC$%. Проводим параллельную прямую $%A_1C_1$%. В принципе, её можно нарисовать где угодно, но лучше чуть ближе к стороне $%AC$% нежели к вершине. Точка $%A_1$% лежит между $%A$% и $%B$%, а точка $%C_1$% между $%A$% и $%C$%. Ясно, что треугольники $%ABC$% и $%A_1BC_1$% подобны. Коэффициент подобия здесь тоже известен: его квадрат равен отношению площадей. Поэтому $%A_1C_1:AC=\sqrt{12/27}=2/3$%.

Теперь на рисунке добавляем ещё одну точку $%D$% на стороне $%AC$%, выбираемую произвольно. Нас интересует площадь четырёхугольника $%A_1BC_1D$%. Он состоит из двух треугольников, площадь одного из которых мы знаем. Поэтому достаточно найти площадь для $%DA_1C_1$%.

Сделать это просто, если сравнить с площадью треугольника $%BA_1C_1$%. Основания у них общие, то есть достаточно знать отношение высот. Можно провести высоту из точки $%B$%; какая-то её часть придётся на треугольник $%BA_1C_1$%. Мы уже нашли коэффициент подобия, и он равен $%2/3$%. Значит, две трети высоты составляет расстояние от $%B$% до $%A_1C_1$%, а оставшаяся одна треть есть расстояние между прямыми $%A_1C_1$% и $%AC$%. Это расстояние есть как раз высота треугольника $%DA_1C_1$%, опущенная из вершины $%D$%. Тогда понятно, что площадь $%DA_1C_1$% равна половине площади $%BA_1C_1$%, то есть равна $%6$%. Четырёхугольник, тем самым, имеет площадь $%18$%.