|
В основании четырёхугольной пирамиды $%SABCD$% лежит ромб со стороной $%a$% и углом $%60°$% при вершине $%A$%. Ребро $%SA$% пирамиды равно $%a$%. Укажите правильное равенство: $%А){\overrightarrow{SC}}^2={\overrightarrow{SB}}^2-{\overrightarrow{SD}}^2$% $%Б)4{\overrightarrow{SC}}^2={\overrightarrow{SB}}^2+2{\overrightarrow{SD}}^2$% $%В)2{\overrightarrow{SC}}^2={\overrightarrow{SB}}^2+{\overrightarrow{SD}}^2$% $%Г)4{\overrightarrow{SC}}^2=2{\overrightarrow{SB}}^2-2{\overrightarrow{SD}}^2$% $%Д){\overrightarrow{SC}}^2={\overrightarrow{SB}}^2+{\overrightarrow{SD}}^2.$% Как решить эту задачу? задан 6 Авг '22 21:49 
BlueFlowers |
|
Рассмотрим базис из векторов $%\vec{SA}$%, $%\vec{SB}$%, $%\vec{SD}$%. Для краткости обозначим их через $%a$%, $%b$%, $%d$% соответственно (можно ввести для них жирный шрифт, как это часто делают.). Конфликта обозначений при этом не возникает, так как квадрат длины ребра, данный в условии, совпадает с $%a^2$%, то есть со скалярным квадратом вектора $%\vec{SA}$%. Запишем те условия, которые нам известны. Прежде всего, $%\vec{AB}^2=a^2$%, то есть $%(b-a)^2=a^2$%, что означает $%2ab=b^2$%. Аналогично, из $%\vec{AD}^2=a^2$% следует $%2ad=d^2$%. Далее, $%\vec{BD}^2=a^2$%, так как треугольник $%ABD$% равносторонний. Это даёт $%(d-b)^2=a^2$%, откуда $%2bd=b^2+d^2-a^2$%. Наконец, $%\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$%, откуда $%\vec{SC}-a=b-a+d-a$%, и потому $%\vec{SC}^2=(b+d-a)^2=a^2+b^2+d^2+2bd-2ab-2ad=a^2+b^2+d^2+b^2+d^2-a^2-b^2-d^2$%, то есть $%\vec{SC}^2=b^2+d^2=\vec{SB}^2+\vec{SD}^2$%, и справедлив пункт д). отвечен 7 Авг '22 0:54 
falcao Спасибо !!
(7 Авг '22 1:16)
BlueFlowers
|
|
до кучи... не уменьшая общности будем считать, что $%a=2$%... тогда введя систему координат с началом в центре основания, получим, что $$ A(\sqrt{3};0;0), \quad B(0;1;0), \quad C(-\sqrt{3};0;0), \quad D(0;-1;0), \quad S(x;y;z) $$ тогда $$ SC^2=(x+\sqrt{3})^2+y^2+z^2, $$ $$ SB^2=x^2+(y-1)^2+z^2, $$ $$ SD^2=x^2+(y+1)^2+z^2, $$ откуда с учётом условия $$ SA^2=(x-\sqrt{3})^2+y^2+z^2=4, $$ получаем, что $$ SC^2=4\sqrt{3}\;x+4, $$ $$ SB^2=2\sqrt{3}\;x-2y+2, $$ $$ SD^2=2\sqrt{3}\;x+2y+2 $$ видим, что последнее равенство выполнено при любых допустимых значениях координат точки $%S$%... остальные - только для некоторых... отвечен 8 Авг '22 21:07 
all_exist Спасибо конечно!!
(8 Авг '22 22:08)
BlueFlowers
|
ну, квадрат вектора - это квадрат его длины... Вам надо вычислить длины указанных рёбер и посмотреть какое равенство будут верным...
хотя мне кажется, что в условии не всё указано...
Ну в условии больше ничего не указано ... не знаю, может авторы этой задачи что-то прошляпили...
хм... оказывается этого достаточно...
используйте метод координат, где центр ромба - начало координат, а вершины на осях... вершина $%S$% имеет какие-то координаты $%(x;y;z)$%... выражаете через них длины рёбер и подставляете в равенства...
А для чего указана длина $$a$$ ребра SA?
для того чтобы написать условие на координаты... а затем упростить квадраты других рёбер...