геометрия - Геометрическая задача: найти отношение DE:EH

Давайте для разнообразия рассмотрим решение при помощи метода координат.

Пусть $%O$% -- середина отрезка $%CA$%. Направим ось $%Ox$% вдоль луча $%OA$%, принимая это расстояние за единицу. Тогда $%A(1;0)$%, $%C(-1;0)$%. Ось $%Oy$% направим так, чтобы ординаты точек $%B$% и $%D$% стали положительными.

Точка $%D$% лежит на единичной полуокружности, и её координаты можно принять за $%D(\cos\varphi;\sin\varphi)$%, где угол принадлежит интервалу от $%0$% до $%\pi$%. Прямая $%DH$% тогда будет задаваться уравнением $%x=\cos\varphi$%.

При осевой симметрии относительно $%BO$% окружность переходит в себя, а касательные $%BC$% и $%BD$% переходят друг в друга. Отсюда следует равенство углов $%BOC$% и $%BOD$%. В сумме эти углы составляют $%\pi-\varphi$%, поэтому каждый из углов имеет величину $%\frac{\pi}2-\frac{\varphi}2$%. Длина отрезка $%BC$% равна тангенсу этого угла, а он равен котангенсу $%\frac{\varphi}2$%. Следовательно, $%B(-1;{\mathop{\rm ctg}\frac{\varphi}2})$%.

Составим уравнение прямой $%AB$%. Разность ординат точек $%A$% и $%B$% равна $%-{\mathop{\rm ctg}\frac{\varphi}2}$%; разность абсцисс равна $%2$%. Поэтому угловой коэффициент прямой равен $%k=-\frac12{\mathop{\rm ctg}\frac{\varphi}2}$%, а сама прямая имеет уравнение $%y=k(x-1)$%, так как проходит через точку $%(1;0)$%.

Найдём координаты точки $%E$% пересечения прямых $%AB$% и $%DH$%. Абсциссу мы уже знаем, и она равна $%x=\cos\varphi$%. Ординату находим из уравнения $%y=k(x-1)$%. Имеем: $$y=-k(1-x)=\frac12{\mathop{\rm ctg}\frac{\varphi}2}(1-\cos\varphi)=\frac12\frac{\cos\frac{\varphi}2}{\sin\frac{\varphi}2}\cdot2\sin^2\frac{\varphi}2=\sin\frac{\varphi}2\cos\frac{\varphi}2=\frac12\sin\varphi.$$ Таким образом, длина отрезка $%EH$% равна половине длины отрезка $%DH$%, то есть $%E$% -- середина $%DH$%, и отношение $%DE:EH$% равно $%1$%.