|
$$ y\;y’’-(y’)^2=1. $$ Мое решение в ответе. Подскажите, пожалуйста, где ошибка-проверка не получается задан 9 Авг '22 1:27 
epimkin |
|
$%\left(-\frac{1}{y}\right)' \neq \frac{1}{y^2}$% отвечен 9 Авг '22 1:57 
haosfortum @haosfortum ,а можно как то продолжить решение получив (y’/y)’=1/y^2 ?
(9 Авг '22 2:05)
epimkin
1
@epimkin: тут естественнее всего решать по принципу y'=p(y). Так вроде всё получается.
(9 Авг '22 2:17)
falcao
@epimkin, я вообще не эксперт в таких вопросах. Но замена, указанная @falcao действительно дает уравнение с разделяющимися переменными.
(9 Авг '22 3:03)
haosfortum
@falcao, cспособом, указанным Вами я знаю как решать. Мне было интересно, можно ли что нибудь сделать с моим преобразованием. @all_exist, ответил
(9 Авг '22 14:26)
epimkin
|
|
понятно, что замена, указанная @falcao, является типовой для таких уравнений... но, качестве извращения ))), продолжим первоначальное преобразование от @epimkin... $$ y\cdot y’’-(y’)^2=1 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{y'}{y}\right)'=\frac{1}{y^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{y'}{y}\cdot\left(\frac{y'}{y}\right)'=\frac{y'}{y^3} \quad\Rightarrow $$ $$ \Rightarrow\quad \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{y'}{y}\right)^2=-\frac{1}{2y^2} +\frac{C_1^2}{2} \quad\Rightarrow \quad y'=\pm\sqrt{C_1^2\cdot y^2-1} \quad\Rightarrow $$ $$ \Rightarrow\quad \frac{y'}{\sqrt{C_1^2\cdot y^2-1}}=\pm 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{C_1}\cdot\ln\Big|C_1\cdot y+\sqrt{C_1^2\cdot y^2-1}\Big|=\pm x + C_2 \quad\Rightarrow \ldots $$ ну, и вроде гиперболический арккосинус получается в ответе... отвечен 9 Авг '22 8:14 
all_exist |
Картинка не вставляется, попробую написать здесь. Поделил на у^2, получил (y’/y)’=(-1/y)’. y’/y=C(1)-(1/y). y’=C(1)y-1 Откуда x+C(2)=(1/C(1))ln|C(1)*y-1| Откуда y=e^x+1 (C(2)=0 C(1)=1 принял. Проверка не проходит
@haosfortum, спасибо понял