$$ y\;y’’-(y’)^2=1. $$

Мое решение в ответе. Подскажите, пожалуйста, где ошибка-проверка не получается

задан 9 Авг 1:27

изменен 9 Авг 7:51

all_exist's gravatar image


51.9k313

Картинка не вставляется, попробую написать здесь. Поделил на у^2, получил (y’/y)’=(-1/y)’. y’/y=C(1)-(1/y). y’=C(1)y-1 Откуда x+C(2)=(1/C(1))ln|C(1)*y-1| Откуда y=e^x+1 (C(2)=0 C(1)=1 принял. Проверка не проходит

(9 Авг 1:38) epimkin

@haosfortum, спасибо понял

(9 Авг 1:58) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%\left(-\frac{1}{y}\right)' \neq \frac{1}{y^2}$%

ссылка

отвечен 9 Авг 1:57

@haosfortum ,а можно как то продолжить решение получив (y’/y)’=1/y^2 ?

(9 Авг 2:05) epimkin
1

@epimkin: тут естественнее всего решать по принципу y'=p(y). Так вроде всё получается.

(9 Авг 2:17) falcao

@epimkin, я вообще не эксперт в таких вопросах. Но замена, указанная @falcao действительно дает уравнение с разделяющимися переменными.

(9 Авг 3:03) haosfortum

@falcao, cспособом, указанным Вами я знаю как решать. Мне было интересно, можно ли что нибудь сделать с моим преобразованием. @all_exist, ответил

(9 Авг 14:26) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
2

понятно, что замена, указанная @falcao, является типовой для таких уравнений... но, качестве извращения ))), продолжим первоначальное преобразование от @epimkin... $$ y\cdot y’’-(y’)^2=1 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{y'}{y}\right)'=\frac{1}{y^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{y'}{y}\cdot\left(\frac{y'}{y}\right)'=\frac{y'}{y^3} \quad\Rightarrow $$ $$ \Rightarrow\quad \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{y'}{y}\right)^2=-\frac{1}{2y^2} +\frac{C_1^2}{2} \quad\Rightarrow \quad y'=\pm\sqrt{C_1^2\cdot y^2-1} \quad\Rightarrow $$ $$ \Rightarrow\quad \frac{y'}{\sqrt{C_1^2\cdot y^2-1}}=\pm 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{C_1}\cdot\ln\Big|C_1\cdot y+\sqrt{C_1^2\cdot y^2-1}\Big|=\pm x + C_2 \quad\Rightarrow \ldots $$ ну, и вроде гиперболический арккосинус получается в ответе...

ссылка

отвечен 9 Авг 8:14

изменен 9 Авг 8:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×725
×81

задан
9 Авг 1:27

показан
116 раз

обновлен
9 Авг 14:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru